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math math-format graphie polynomials
Bestimmtes Integral als Flächenbilanz
i-03-03
number
6
randRange(3,8) function( t ) { return [t, cos(t)]; } function( t ) { return [t, 0]; }

Bestimmen Sie {\color{red}b} \in [0,1] so, dass gilt \displaystyle \int_{\frac{\pi}{n}}^{{\color{red}b} \cdot \pi} \cos(x) \; dx = 0.

1-1/n

Skizzieren Sie den Graphen der Kosinusfunktion und interpretieren Sie das bestimmte Integral geometrisch.

Zwischen 0 und \pi ist die Kosinuskurve symmetrisch zum Punkt \left(\dfrac \pi 2, 0\right):

graphInit({ range: [[ -1.5 * PI/2, 1.6 * PI ],[ -1.2, 1.2 ]], scale: [ 40, 40 ], gridStep: [ PI/n, .5 ], tickStep: [ n, 2 ], labelStep: [ n, 1 ], unityLabels: true, }); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return cos (x); }, [ - 0.75 * PI, 2.5 * PI ] ); }); style({ fill: ORANGE, stroke: ORANGE }, function() { circle( [PI/n, 0], 0.05 ); });

Eingezeichnet ist auch die untere Grenze \color{orange}{\dfrac{\pi}{n}}.

style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( fn1, [PI/n, PI - PI/n], 1, fn2); });

Am punktsymmetrischen Graphen sehen wir:

Linke Fläche = \displaystyle \int_{\frac{\pi}{n}}^{\frac\pi 2} \cos(x) \; dx = Rechte Fläche = \displaystyle - \int_{\frac\pi 2}^{\left(\pi- \frac{\pi}{n}\right) =\color{red}b\cdot \pi } \cos(x) \; dx .

Um- und Zusammenstellen liefern:

\displaystyle \int_{\frac{\pi}{n}}^{\frac\pi 2} \cos(x) \; dx + \int_{\frac\pi 2}^{\color{red} {\frac{n-1}{n}}\pi} \cos(x) \; dx = \int_{ \frac{\pi}{n}}^ {{\color{red}\frac{n-1}{n}}\pi} \cos(x) \; dx = 0 .

Also ist \displaystyle \int_{ \frac{\pi}{n}}^ {{\color{red}\frac{n-1}{n}}\pi} \cos(x) \; dx = 0 und damit b = {\color{red}\dfrac{n-1}{n}}.