Bestimmen Sie den Grenzwert:
\displaystyle
\lim_{x \to A*A}\,
\frac{x-A*A}{\sqrt{x}-A}.
Für x \to A*A strebt der Nenner gegen Null.
Die Grenzwertsätze lassen sich so nicht anwenden. Versuchen Sie zu
kürzen, in dem Sie zuerst geschickt erweitern.
Erweitern mit \sqrt{x}+A ergibt:
\displaystyle
\lim_{x \to A*A}\,
\frac{x-A*A}{\sqrt{x}-A} =
\lim_{x \to A*A}\,
\frac{x-A*A}{\sqrt{x}-A}
\cdot\frac{\sqrt{x}+A}{\sqrt{x}+A} =
\lim_{x \to A*A}\,
\frac{(x-A*A)(\sqrt{x}+A)}{x-A*A}.
Da x\ne A*A ist, lässt sich kürzen:
\displaystyle
\lim_{x \to A*A}\,
\frac{(x-A*A)(\sqrt{x}+A)}{x-A*A} =
\lim_{x \to A*A}\,(\sqrt{x}+A).
Unter Verwendung der Grenzwertsätze lässt sich dann der Grenzwert berechnen.
Es folgt:
\displaystyle
\lim_{x \to A*A}\,
\frac{x-A*A}{\sqrt{x}-A} =
\lim_{x \to A*A}\,(\sqrt{x}+A) =
2*A.