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Stelle mit horizontaler Tangente bestimmen
d-14-01
number
182
randRange(3,16) randRange(2,16)

Für x > 0 sei f definiert durch f(x) = x^{n} \cdot \log_{a}(x) .

An der Stelle e^a gilt f'(e^a) =0.

Bestimmen Sie a.

-1/n

Verwenden Sie die Produktregel:

f'(x) = \left(x^{n} \cdot \log_{a}(x)\right)' = nx^{n-1} \cdot {\color{darkorange}\log_{a}(x)} + \color{blue}x^{n} \cdot \left(\log_{a}(x)\right)' .

Es sind:

{\color{darkorange}\log_{a}(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}} und \displaystyle \left(\log_{a}(x)\right)' = \dfrac {1}{\ln (a) \color{blue} x} .

Zusammenfassen, Kürzen und Nullsetzen liefern die Gleichung:

x^{n-1} \left(\dfrac{{\color{purple}n\ln (x) + 1}} {\ln(a)}\right) = 0.

Und damit für x > 0

{\color{purple}n\ln (x) + 1} = 0 \; \Rightarrow \; \ln(x) = -\dfrac 1{n} \; \Rightarrow \; x = e^{\large -\frac 1{n}}.

Mit Lösung a = -\dfrac 1{n}.