Gegeben sei die Diferentialgleichung
y'(x) = -\dfrac{y(x)}{x - A} + \dfrac{x}{x -A}
mit y(0) = D und x >A.
Bestimmen Sie den Wert \color{orange} y(C)
der Lösungsfunktion des AWP.
\color{orange} y(C)
=
(0.5 * C*C - A*D)/(C-A)
Wir bestimmen zunächst die Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL y'(x) = p(x)\cdot y(x).
Dies ist y(x) = K \cdot e^{P(x)}
mit einer Konstanten K und einer Stammfunktion
\displaystyle P(x) \in \int p(x) dx von p.
Es ist \displaystyle P(x) \in \int p(x) dx =
\int -\dfrac{1}{x - A} dx=
-\ln |x -A| =- \ln (x -A)+ Konstante, da x >A.
Eingesetzt ist dies
y(x) = K \cdot e^{P(x)} = K \cdot e^{- \ln (x -A)} = K \cdot \dfrac{1}{x -A}.
Die Integrationskonstante
K wird durch die Anfangsbedingung y(0) = D ganz am Schluss, wie alle anderen Konstanten, festgelegt.
Mit Variation der Konstanten folgt, dass die Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
\displaystyle y(x) = \left( \int e^{-P(x)} \cdot q(x) dx + C \right) e^{P(x)} ist.
Wir rechnen mit e^{-P(x)} \cdot q(x) = e^{-(- \ln (x -A))} \cdot \dfrac{x}{x -A}
= (x -A) \dfrac{x}{x -A} = x
und \displaystyle \int e^{-P(x)} \cdot q(x) dx = \int x dx = \frac 12 x^2 +C .
Die Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit
\displaystyle y(x) = \left( \frac 12 x^2 +C \right) e^{P(x)} = \left( \frac 12 x^2 +C \right) \frac{1}{x -A}
= \frac{\frac 12 x^2 +C }{x -A}
Mit
y(0) = D = \dfrac{0 +C }{0 -A} muss C = -A*D sein.
Insgesamt ist die Lösung des AWP \displaystyle y(x) = \frac{\frac 12 x^2 + -A*D}{x -A} .
Einsetzen liefert {\color{orange} y(C)} =
fractionReduce(0.5 * C*C - A*D,C-A)
.