Gegeben sei die Diferentialgleichung
y'(x) = -\dfrac{y(x)}{x - A} -By(x) + \dfrac{e^{-Bx}}{x -A}
mit y(0) = D und x >A.
Bestimmen Sie die Lösungsfunktion des AWP \color{orange} y(x).
\color{orange} y(x)
=
\frac{x + -A*D}{e^{Bx}(x -A)}
Wir bestimmen zunächst die Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL y'(x) = p(x)\cdot y(x).
Hier ist nach Ausklammern p(x) = -\dfrac{1}{x - A} -B.
Damit suchen wir y(x) = K \cdot e^{P(x)}
mit einer Konstanten K und einer Stammfunktion
\displaystyle P(x) \in \int p(x) dx von p.
Es ist \displaystyle P(x) \in \int p(x) dx =
\int \left(-\dfrac{1}{x - A} -B \right)dx=
-\ln |x -A| - Bx =- \ln (x -A) - Bx + Konstante,
da x >A.
Eingesetzt ist dies
y(x) = K \cdot e^{P(x)} = K \cdot e^{- \ln (x -A) - Bx} = K \cdot \dfrac{1}{x -A}
\cdot e^{ - Bx}.
Die Integrationskonstante
K wird durch die Anfangsbedingung y(0) = D
ganz am Schluss, wie alle anderen Konstanten, festgelegt.
Mit Variation der Konstanten folgt, dass die Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
\displaystyle y(x) = \left( \int e^{-P(x)} \cdot q(x) dx + C \right) e^{P(x)} ist.
Wir rechnen mit e^{-P(x)} \cdot q(x)
= e^{-(- \ln (x -A) - Bx )} \cdot \dfrac{e^{-Bx}}{x -A}
= (x -A) e^{Bx}\cdot \dfrac{e^{-Bx}}{x -A} = 1
und \displaystyle \int e^{-P(x)} \cdot q(x) dx = \int 1 dx = x +C .
Die Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit
\displaystyle y(x) = \left( x +C \right) e^{P(x)} = \left( x +C \right) \cdot \dfrac{1}{x -A}
\cdot e^{ - Bx} = \frac{ x +C }{e^{Bx}(x -A)}
Mit
y(0) = D = \dfrac{0 +C }{1 \cdot (0 -A)} muss C = -A*D sein.
Insgesamt ist die Lösung des AWP \displaystyle
{\color{orange}y(x) = \frac{x + -A*D}{e^{Bx}(x -A)}}.