Gegeben sei die Diferentialgleichung
y''(t) - T\cdot y'(t) +D\cdot y(t) = 0
mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y'(0) =L2 - L1.
Bestimmen Sie für die Lösung dieses AWP y den Wert
\color{orange}\ln \left(- \dfrac{y(K)}{y(-K)}\right)
=
K*(L1+L2)
Mit der Charakteristischen Gleichung \lambda^2 - T\cdot \lambda +D = 0
finden wir die Allgemeine Lösung der DGL.
Die beiden Nullstellen der Quadratischen Gleichung sind \lambda_1 = L1
und \lambda_2 = L2.
Damit ist Allgemeine Lösung
y(t) = {\color{blue}C_1} \cdot e^{L1 \cdot t} + {\color{blue}C_2} \cdot e^{L2 \cdot t}.
Die Konstanten {\color{blue}C_1} und {\color{blue}C_2} bestimmen wir mit den Anfangsbedingungen
y(0) = 0 und y'(0) =L2 - L1.
Mit y(0) = 0 folgen C_1 + C_2 = 0 und \color{teal}C_1 = - C_2.
Mit y'(0) =L2 - L1 folgt zunächst
\color{purple}L1 \cdot C_1 + L2 \cdot C_2 = L2 - L1.
Einsetzen von \color{teal}C_1 = - C_2 in
\color{purple}L1 \cdot C_1 + L2 \cdot C_2 = L2 - L1
liefert \color{blue}C_2 = 1 und damit \color{blue}C_1= -1.
Die spezielle Lösung ist y(t) = e^{L2 \cdot t} - e^{L1 \cdot t} mit den Werten
y(K) = e^{L2 \cdot K} - e^{L1 \cdot K}
= e^{L2*K} - e^{L1*K} und
y(-K) = e^{L2 \cdot negParens(-K)} - e^{L1 \cdot negParens(-K)}
= e^{-L2*K} - e^{-L1*K} = \dfrac{e^{L1*K} - e^{L2*K}}{e^{L1*K + L2*K}}.
Gesucht ist zunächst - \dfrac{y(K)}{y(-K)}
=- \left(-e^{L1*K + L2*K} \right) = e^{L1*K + L2*K} = e^{(L1+L2)*K}
und damit \color{orange}\ln \left(- \dfrac{y(K)}{y(-K)}\right)
= K*(L1+L2).