Gegeben seien die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A x^3 + Bx y+ Cx + D y^2 und
P = (x_0,y_0)= (X,Y).
Bestimmen Sie die Zahlen {\color{blue} a}, {\color{teal} b} und {\color{red} c}, sodass die Ebene
E: z = {\color{blue} a}x + {\color{teal} b} y + {\color{red} c}
die Tangentialebene an f in
(X,Y, f( X,Y)) ist.
{\color{blue} a} =
{\color{teal} b}=
{\color{red} c} =
Falls die Tangentialebene in einem Punkt (x_0,y_0) existiert, ist dies der Graph der Funktion \ell (x,y) mit
\ell (x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0).
Und eingesetzt ist
z= \ell (x,y) =
f(X,Y) + f_x(X,Y) (x-X) + f_y(X,Y) (y-Y).
Wir rechnen für die fehlenden Zahlen f_x(x,y)= 3*A x^2 + B y + C und
f_y(x,y)= B x+ 2*D y.
Der Punkt P = (x_0,y_0)= (X,Y) eingesetzt liefert die Werte
f_x(X,Y)= 3*A*X*X + B*Y + C und
f_y(X,Y)= B*X+ 2* Y* D.
Damit ergibt sich zusammen
z = Z + 3*A*X*X + B*Y + C (x-X) + B*X+ Y* D*2 (y-Y)
und wir müssen noch ausmultiplizieren und sortieren.
Es ist dann z = 3*A*X*X + B*Y + C x + B*X+ Y* D*2 y +Z - X*(3*A*X*X + B*Y + C) -Y*( B*X+ Y* D*2)
also {\color{blue} a =3*A*X*X + B*Y + C}, \color{teal} b = B*X+ Y* D*2
und {\color{red}c = Z - X*(3*A*X*X + B*Y + C) -Y*( B*X+ Y* D*2)}.