Gegeben sei die Matrix
A=
\begin{pmatrix} A & B \\
fractionReduce(A*D,B) & D \end{pmatrix}
.
Bestimmen Sie den Eintrag {\color{red}X} so, dass
v=
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
Y \end{pmatrix}
ein Eigenvektor zum Eigenwert \lambda = 0 ist.
\color{red} X
=
- B/A * Y
Wir suchen {\color{red}X} im Vektor v=
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
Y \end{pmatrix},
sodass das Matrix-Vektor-Produkt A\cdot v = \lambda \cdot v = 0 gleich dem Nullvektor ist,
da \lambda = 0.
Das übersetzt sich in die Gleichung
\begin{pmatrix} A & B \\
fractionReduce(A*D,B) & D \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
Y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
Wir rechnen \begin{pmatrix} A & B \\
fractionReduce(A*D,B) & D \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
Y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} negParens(A) \cdot {\color{red}X} + negParens(B) \cdot negParens(Y) \\
negParens(fractionReduce(A*D,B)) \cdot {\color{red}X} + negParens(D) \cdot negParens(Y)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} negParens(A) \cdot {\color{red}X} + B *Y \\
negParens(fractionReduce(A*D,B)) \cdot {\color{red}X} + D *Y \end{pmatrix}.
Die beiden Koordinaten sind Null für {\color{red}X} = fractionReduce(- B*Y,A).