Gegeben sei die Matrix
A=
\begin{pmatrix} A & {\color{red}b} \\
{\color{teal}c} & D \end{pmatrix}
.
Bestimmen Sie die Einträge {\color{red}b} und {\color{teal}c} so, dass
v=
\begin{pmatrix} X \\
Y \end{pmatrix}
ein Eigenvektor zum Eigenwert \lambda = 0 ist.
\color{red} b
=
B
\color{teal} c
=
C
Wir suchen {\color{red}b} und {\color{teal}c}
mit A = \begin{pmatrix} A & {\color{red}b} \\
{\color{teal}c} & D \end{pmatrix} und
v= \begin{pmatrix} X \\
Y \end{pmatrix},
sodass das Matrix-Vektor-Produkt A\cdot v = \lambda \cdot v = {\color{blue}0} gleich dem
Nullvektor ist, da \lambda = 0.
Wir rechnen die linkte Seite aus und erhalten
\begin{pmatrix} A & {\color{red}b} \\
{\color{teal}c} & D \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} X \\
Y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} negParens(A) \cdot negParens(X) + Y {\color{red}b} \\
{\color{teal}c} \cdot negParens(X) + negParens(D) \cdot negParens(Y)
\end{pmatrix} =
{\color{blue}
\begin{pmatrix} A*X + Y {\color{red}b} \\
X {\color{teal}c} + D *Y \end{pmatrix}
}.
Die beiden Gleichungen
\color{blue}A*X + Y {\color{red}b} = 0 und
\color{blue}X {\color{teal}c} + D *Y =0
liefern
{\color{red}b} =
fractionReduce(- A*X,Y) und {\color{teal}c} = fractionReduce(- D*Y,X).