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utf-8
math math-format
Fixpunkte vorgegeben
fp-02-01
multiple
168
randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] )

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x^2 + {\color{blue}a} x + {\color{red}b}.

Für welche Zahlen {\color{blue}a} und {\color{red}b} hat f die Fixpunkte A und B?

{\color{blue}a} = 1-(A+B)
{\color{red}b} = A*B

Für einen Fixpunkt \widetilde x gilt f (\widetilde x) = \widetilde x.

Setzen wir die Fixpunkte A und B jeweils in f (\widetilde x) = \widetilde x^2 + {\color{blue}a} \widetilde x + {\color{red}b} = \widetilde x für \widetilde x ein, erhalten wir zwei Gleichungen.

Zusammengefasst ergib sich ein System aus den beiden Gleichung A{\color{blue}a} + {\color{red}b} = A-A*A und B{\color{blue}a} + {\color{red}b} = B - B*B.

Dies lässt sich zum Beispiel dadurch lösen, die beiden Gleichungen zu subtrahieren.

Damit bleibt eine Gleichung A-B{\color{blue}a} = A-A*A - B + B*B mit Lösung {\color{blue}a} = 1-A- B.

Um {\color{red}b} zu bestimmen, setzen wir {\color{blue}a} = 1-A- B in eine der beiden Gleichungen ein und erhalten {\color{red}b} = A*B.