Gegeben sei die Funktion f mit
f(x) = \dfrac{{\color{blue}a} x + {\color{red}b}}x.
Für welche Zahlen {\color{blue}a} und {\color{red}b} hat
f die Fixpunkte A und B?
{\color{blue}a}
=
A+B
{\color{red}b}
=
-A*B
Für einen Fixpunkt \widetilde x gilt
f (\widetilde x) = \widetilde x.
Setzen wir die Fixpunkte A und B jeweils in
f (\widetilde x) = \dfrac{{\color{blue}a} \widetilde x + {\color{red}b}}{\widetilde x} = \widetilde x
für \widetilde x ein, erhalten wir
zwei Gleichungen.
Zusammengefasst ergib sich ein System aus den beiden Gleichung
A{\color{blue}a} + {\color{red}b} = A*A und
B{\color{blue}a} + {\color{red}b} = B*B.
Dies lässt sich zum Beispiel dadurch lösen, die beiden Gleichungen zu subtrahieren.
Damit bleibt eine GleichungA-B{\color{blue}a} = A*A - B*B mit Lösung
{\color{blue}a} = A + B.
Um {\color{red}b} zu bestimmen, setzen wir {\color{blue}a} = A + B
in eine der beiden Gleichungen ein und erhalten {\color{red}b} = - A*B.