Bestimmtes Integral als Flächenbilanz

de-CH

utf-8

math graphie polynomials

i-03-02

number

randRange(2,8) function( t ) { return [t, sin(t)]; } function( t ) { return [t, 0]; }

Bestimmen Sie {\color{red}b} \in [0,1] so, dass gilt \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{n}}^{{\color{red}b} \cdot \pi} \sin(x) \; dx = 0.

1/n

Skizzieren Sie den Graphen der Sinusfunktion und interpretieren Sie das bestimmte Integral geometrisch.

Der Graph der Sinusfunktion ist symmetrisch zum Nullpunkt:

graphInit({ range: [ 1.5 * PI, 1.2 ], scale: [ 40, 40 ], gridStep: [ PI/n, .5 ], tickStep: [ n, 2 ], labelStep: [ n, 1 ], unityLabels: true, }); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return sin (x); }, [ - 1.5 * PI, 1.5 * PI ] ); }); style({ fill: ORANGE, stroke: ORANGE }, function() { circle( [-PI/n, 0], 0.05 ); });

Eingezeichnet ist auch die untere Grenze \color{orange}{-\dfrac{\pi}{n}}.

style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5 }, function() { plotParametric( fn1, [-PI/n, PI/n], 1, fn2); });

Am punktsymmetrischen Graphen sehen wir:

Linke Fläche = \displaystyle -\int_{-\frac{\pi}{n}}^{0} \sin(x) \; dx = Rechte Fläche = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{n} =\color{red}b } \sin(x) \; dx.

Um- und Zusammenstellen liefern:

\displaystyle 0 = \int_{-\frac{\pi}{n}}^{0} \sin(x) \; dx + \int_{0}^{{\color{red}\frac{\pi}{n}}} \sin(x) \; dx = \int_{-\frac{\pi}{n}}^{{\color{red}\frac{\pi}{n}}} \sin(x) \; dx.

Also ist \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{n}}^{\frac{\pi}{n}} \sin(x) \; dx = 0 und damit b = {\color{red}\dfrac 1n}.