Bestimmen Sie {\color{red}b} \in [0,1] so, dass gilt
\displaystyle
\int_{\frac{\pi}{n}}^{{\color{red}b} \cdot \pi}
\cos(x) \; dx = 0.
Skizzieren Sie den Graphen der Kosinusfunktion und interpretieren Sie das bestimmte Integral geometrisch.
Zwischen
0 und
\pi ist
die Kosinuskurve symmetrisch zum Punkt
\left(\dfrac \pi 2, 0\right):
Eingezeichnet ist auch die untere Grenze
\color{orange}{\dfrac{\pi}{n}}.
Am punktsymmetrischen Graphen sehen wir:
Linke Fläche =
\displaystyle
\int_{\frac{\pi}{n}}^{\frac\pi 2} \cos(x) \; dx
= Rechte Fläche =
\displaystyle
- \int_{\frac\pi 2}^{\left(\pi- \frac{\pi}{n}\right)
=\color{red}b\cdot \pi }
\cos(x) \; dx
.
Um- und Zusammenstellen liefern:
\displaystyle
\int_{\frac{\pi}{n}}^{\frac\pi 2} \cos(x) \; dx
+ \int_{\frac\pi 2}^{\color{red}
{\frac{n-1}{n}}\pi}
\cos(x) \; dx
=
\int_{
\frac{\pi}{n}}^
{{\color{red}\frac{n-1}{n}}\pi}
\cos(x) \; dx = 0
.
Also ist
\displaystyle
\int_{
\frac{\pi}{n}}^
{{\color{red}\frac{n-1}{n}}\pi}
\cos(x) \; dx = 0
und damit
b = {\color{red}\dfrac{n-1}{n}}.