Sei I_0 die Integralfunktion definiert durch
\displaystyle I_0(x) = \int_0^{x} d(t^3 -
2*a+bt^2 + a*(a+b) t)\; dt.
Bestimmen Sie das grösste \color{red}b,
so dass I_0 auf dem Intervall [0,{\color{red}b}]
streng monoton wachsend ist.
Es ist \displaystyle I_0 genau dann streng monoton
wachsend auf [0,{\color{red}b}], wenn hier
\displaystyle I_0'(x) >0 für alle x gilt.
Nach dem Hauptsatz ist
\displaystyle I_0'(x) =
\left(\int_0^{x}d(t^3 -
2*a+bt^2 + a*(a+b) t) \right)' =
d (x^3 -
2*a+bx^2 + a*(a+b) x) =
d
x(x^2 - 2*a+bx + a*(a+b)).
Die Nullstellen von d
x(x^2 - 2*a+bx + a*(a+b))
liegen bei 0,
{\color{red}a} und
a+b.
Zwischen 0 und {\color{red}a}
ist die Funktion
positiv, da zum Beispiel
I_0'\left(fractionReduce(a,2)\right) =
fractionReduce(d * a *(a/2 *a/2 -(2*a+b)*a/2 + a*(a+b)),2) >0.
Und damit ist also
{\color{red}b= a}.