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Bestimmtes Integral berechnen
i-06-07
number
5544
randRange(1,3) randRange(1,3) 3*N 2*M randRangeExclude(-5,5,[-1,0,1]) randRange(-5,5) randRange(1,6) L+h (function(x){return A*x*x*x/3+B*x*x/2+C*x})

Berechnen Sie \displaystyle\int_{L}^{U} Ax^2+Bx+C \; dx.

F(U)-F(L)

Mit Rechenregeln für Stammfunktionen gilt

\displaystyle \int Ax^2+Bx+C \; dx = A\int x^2 \;dx + B\int x \;dx + C\int 1 \;dx

\displaystyle = A\dfrac{x^3}{3} + B\dfrac{x^2}{2} + Cx + C.

\displaystyle = A/3 \cdot x^3 + B/2 \cdot x^2 + C\cdot x + C

Nach dem Hauptsatz gilt:

\displaystyle \int_{L}^{U} Ax^2+Bx+C \; dx = \left( A/3 \cdot x^3 + B/2 \cdot x^2 + C \cdot x\right) \bigg|_{{\color{blue}L}}^{{\color{red}U}}

\displaystyle = \left( A/3\cdot {\color{red}negParens(U)}^3 + B/2 \cdot {\color{red}negParens(U)}^2 + C \cdot {\color{red}negParens(U)}\right) - \left( A/3\cdot {\color{blue}negParens(L)}^3 + B/2\cdot {\color{blue}negParens(L)}^2 + C \cdot {\color{blue}negParens(L)}\right)

\displaystyle = \frac{2* A * U*U*U + 3* B * U*U + 6* C* U}6 - \frac{ 2* A * L*L*L + 3* B * L*L + 6*C* L}6

\displaystyle = \frac{2* A * U*U*U + 3* B * U*U + 6* C* U - 2* A * L*L*L - 3* B * L*L - 6*C* L}6.

Und damit:

\displaystyle\int_{L}^{U} Ax^2+Bx+C \; dx = F(U)-F(L).