Berechnen Sie
\displaystyle\int_{L}^{U}
Ax^2+Bx+C \; dx.
Mit Rechenregeln für Stammfunktionen gilt
\displaystyle
\int Ax^2+Bx+C \; dx =
A\int x^2 \;dx +
B\int x \;dx +
C\int 1 \;dx
\displaystyle =
A\dfrac{x^3}{3} +
B\dfrac{x^2}{2} +
Cx + C.
\displaystyle =
A/3 \cdot x^3 +
B/2 \cdot x^2 +
C\cdot x
+ C
Nach dem Hauptsatz gilt:
\displaystyle
\int_{L}^{U}
Ax^2+Bx+C \; dx
=
\left(
A/3 \cdot x^3 +
B/2 \cdot x^2 + C \cdot x\right)
\bigg|_{{\color{blue}L}}^{{\color{red}U}}
\displaystyle
=
\left(
A/3\cdot {\color{red}negParens(U)}^3 +
B/2 \cdot {\color{red}negParens(U)}^2 +
C \cdot {\color{red}negParens(U)}\right) -
\left(
A/3\cdot {\color{blue}negParens(L)}^3 +
B/2\cdot {\color{blue}negParens(L)}^2 +
C \cdot {\color{blue}negParens(L)}\right)
\displaystyle
=
\frac{2* A * U*U*U +
3* B * U*U +
6* C* U}6 -
\frac{ 2* A * L*L*L +
3* B * L*L +
6*C* L}6
\displaystyle
= \frac{2* A * U*U*U +
3* B * U*U +
6* C* U -
2* A * L*L*L -
3* B * L*L -
6*C* L}6.
Und damit:
\displaystyle\int_{L}^{U}
Ax^2+Bx+C \; dx
= F(U)-F(L).