Gegeben seien
\displaystyle\int_{L}^{U1}
f(x)\; dx = I1,
\displaystyle\int_{L}^{U2}
f(x)\; dx = I2 und
\displaystyle\int_{U1}^{U2}
g(x)\; dx = I3.
Berechnen Sie
\displaystyle\int_{U1}^{U2}
(af(x) + bg(x)) \; dx.
\displaystyle\int_{U1}^{U2}
(af(x) + bg(x)) \; dx =
\displaystyle a
{\color{red}\int_{U1}^{U2}
f(x) \; dx} +
b{\color{blue}\int_{U1}^{U2}
g(x) \; dx}
und dem zweiten (blauen) Summanden
\displaystyle
b{\color{blue}\int_{U1}^{U2}
g(x) \; dx} = b \cdot
{\color{blue}I3} = b*I3.
Für den ersten (roten) Summanden betrachten wir die Aufteilung des
Integrationsintervall [L,U2 ]
in [L,U1 ] und
{\color{red}[U1,U2 ]}:
\displaystyle I2 =
\int_{L}^{U2}
f(x) \; dx =
\int_{L}^{U1}
f(x) \; dx +
{\color{red}\int_{U1}^{U2}
f(x) \; dx} =
I1+
{\color{red}\int_{U1}^{U2}
f(x) \; dx}
und damit
\displaystyle
{\color{red}\int_{U1}^{U2}
f(x) \; dx} = I2 - I1
= I2-I1.
\displaystyle\int_{U1}^{U2}
(af(x) + bg(x)) \; dx =
a \cdot I2-I1 + b*I3
= b*I3 + a*I2-a*I1.