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math graphie polynomials math-format
Mittelwert einer Funktion
i-03-XX-1
number
27
randRange(3,6) randRange(-8,2) L + a function(x){return (-x*x*x/3+((L+U)/2)*x*x-L*U*x);} (F(U)-F(L))/a function( t ) { return [t, 0]; } function( t ) { return [t, mu]; } function( t ) { return [t, 0]; }

Welche Höhe {\color{red}h} muss das (rote) Rechteck haben, damit sein Flächeninhalt

gleich der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen

der (Parabel-)Funktion {\color{blue}f} mit {\color{blue}f(x)} = -x^2 + \ldots ist ?

graphInit({ range: [[ L-1, abs(U) + 0.5 ] ,[ -1, (a/2)*(a/2) +1 ]], scale: [ 20, 20 ], gridStep: [ 1, 10 ], tickStep: [ 2, 10 ], labelStep: [ 1, 10 ], unityLabels: true, }); label( [ 0, (a/2)*(a/2) +1 ], "f(x)", "above" ); label( [ abs(U) + 0.5, 0 ], "x", "right" ); label( [ L, mu ], "\\color{red}h", "left" ); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return -(x-L)*(x-U) ; }, [ L, U ] ); }); style({ stroke: RED, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return mu ; }, [ L, U ] ); }); style({ fill: RED, stroke: RED, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( RecTop, [L, U], 1, RecBot); });

(F(U)-F(L))/a

Eine Rechteckseite lesen wir auf der x-Achse mit {\color{orange}a} ab.

Die Rechteckfläche ist damit gleich {\color{red}h} \cdot {\color{orange}a} und auch gleich dem Integral \displaystyle \int_{L}^{U} {\color{blue}f(x)} \; dx.

Das gesuchte {\color{red}h} finden wir als

\displaystyle {\color{red}h} = \frac 1{{\color{orange}a}} \int_{L}^{U} {\color{blue}f(x)} \; dx.

Wir bestimmen {\color{blue}f(x)} mit den beiden Nullstellen als a = L und a = U

{\color{blue}f(x)} = - (x-L) (x-U).

Der Hauptsatz liefert dann

\displaystyle \int_{L}^{U} {\color{blue}f(x)} \; dx = \int_{L}^{U} -x^2 + negParens(2*L+a) x - L*U\; dx = fractionReduce(roundTo(2,3*(F(U)-F(L))),3).

Und damit zusammen

\displaystyle {\color{red}h} = \frac 1{{\color{orange}a}} \cdot fractionReduce(roundTo(2,3*(F(U)-F(L))),3) = fractionReduce(roundTo(2,3*(F(U)-F(L))),3*a).