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math graphie polynomials math-format
Mittelwert einer Funktion
i-03-XX-1
number
5
randRange(3,8) 0 a function( t ) { return [-t*t*t/3+ U/2*t*t]; } F(U)/a function( t ) { return [t, 0]; } function( t ) { return [t, mu]; } function( t ) { return [t, -t*(t-U)]; }

Es sei \displaystyle \int_{0}^{U} {\color{blue}f(x)} \; dx = fractionReduce(roundTo(2,3*F(U)),3).

In welcher Höhe {\color{red}h} stimmen die beiden (orangenen) Flächen unter- und oberhalb dieser Höhe überein ?



graphInit({ range: [[ -1, 9 ] ,[ -1, (U*U)/4 + 1 ]], scale: [ 20, 20 ], gridStep: [ 1, 18 ], tickStep: [ 2, 10 ], labelStep: [ 2, 10 ], unityLabels: true, }); label( [ 0, (U*U)/4 + 1 ], "f(x)", "above" ); label( [ 8.5, 0 ], "x", "above" ); label( [ 0, mu ], "\\color{red}h", "left" ); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return -(x-L)*(x-U) ; }, [ L, U ] ); }); style({ fill: ORANGE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( RecTop , [0, (U/2)*0.423], 1, f); }); style({ fill: ORANGE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( RecTop, [(U/2)*1.577, U], 1, f); }); style({ fill: ORANGE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( f, [(U/2)*0.423, (U/2)*1.577], 1, RecTop); }); style({ stroke: RED, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return mu ; }, [ L, U ] ); });


(F(U)-F(L))/a

Das gesuchte {\color{red}h} finden wir als eine Seite des Rechtecks

graphInit({ range: [[ -1, 9 ] ,[ -1, (U*U)/4 + 1 ]], scale: [ 20, 20 ], gridStep: [ 1, 18 ], tickStep: [ 2, 10 ], labelStep: [ 2, 10 ], unityLabels: true, }); label( [ 0, (U*U)/4 + 1 ], "f(x)", "above" ); label( [ 8.5, 0 ], "x", "above" ); label( [ 0, mu ], "\\color{red}h", "left" ); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return -(x-L)*(x-U) ; }, [ L, U ] ); }); style({ fill: ORANGE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( RecTop , [0, (U/2)*0.423], 1, f); }); style({ fill: ORANGE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( RecTop, [(U/2)*1.577, U], 1, f); }); style({ fill: ORANGE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( f, [(U/2)*0.423, (U/2)*1.577], 1, RecTop); }); style({ stroke: RED, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return mu ; }, [ L, U ] ); }); style({ fill: RED, stroke: RED, opacity: 0.2}, function() { plotParametric( RecTop, [L, U], 1, RecBot); });

Die andere Rechteckseite lesen wir auf der x-Achse mit {\color{orange}a} ab.

Die Rechteckfläche ist damit gleich F= {\color{red}h} \cdot {\color{orange}a}.

style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( f, [0, (U/2)*0.423], 1, RecBot); }); style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( RecTop, [(U/2)*0.423, (U/2)*1.577], 1, RecBot); }); style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( f, [(U/2)*1.577, U], 1, RecBot); });

Auf dem blauen Stück stimmen F und die Fläche zwischen x-Achse dem Parabelbogen überein.

Die orangenen Flächen sind dann jeweils der fehlende Teil, und wir wählen nun {\color{red}h} so, dass F gleich der Fläche zwischen der x-Achse und dem Parabelbogen ist.

Dann ist also

\displaystyle F = {\color{red}h} \cdot {\color{orange}a} = \int_{L}^{U} {\color{blue}f(x)} \; dx = fractionReduce(roundTo(2,3*F(U)),3) und

\displaystyle {\color{red}h} = \frac 1{{\color{orange}a}} \int_{L}^{U} {\color{blue}f(x)} \; dx = \frac 1{{\color{orange}a}} \cdot fractionReduce(roundTo(2,3*(F(U)-F(L))),3) = fractionReduce(roundTo(2,3*(F(U)-F(L))),3*a).