Bestimmen Sie den Imaginärteil von z= \dfrac{A_REP}{B_REP}.
\color{blue}\operatorname{Im}(z) = \Im(z)
=
Y
Multipliziere Zähler und Nenner mit dem komplex Konjugierten des Nenners
= \green{BAR}.
\qquad \dfrac{A_REP}{B_REP} \cdot \green{1} =
\dfrac{A_REP}{B_REP} \cdot
\dfrac{\green{BAR}}{\green{BAR}}
Vereinfache durch (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2:
\qquad = \dfrac{(A_REP) \cdot (BAR)}
{(B_REAL)^2 - (coefficient(B_IMAG)i)^2}
\qquad = \dfrac{(A_REP) \cdot (BAR)}
{B_REAL * B_REAL + B_IMAG * B_IMAG}
\qquad \dfrac{(\blue{A_REP}) \cdot (\red{BAR})}
{B_REAL * B_REAL + B_IMAG * B_IMAG}
Der Nenner ist nun eine reelle Zahl.
Rechne nun den Zähler aus:
\qquad =
\dfrac{\blue{negParens(A_REAL)} \cdot \red{negParens(B_REAL)} +
\blue{negParens(A_IMAG)} \cdot \red{negParens(B_REAL) i} + \blue{negParens(A_REAL)} \cdot
\red{negParens(B_BAR_IMAG) i} +
\blue{negParens(A_IMAG)} \cdot \red{negParens(B_BAR_IMAG) i^2}}
{N}
\qquad = \dfrac{negParens(A_REAL * B_REAL) + negParens(A_IMAG * B_REAL)i +
negParens(A_REAL * B_BAR_IMAG)i + negParens(A_IMAG * B_BAR_IMAG) i^2}{N} =
\dfrac{negParens(A_REAL * B_REAL) + negParens(A_IMAG * B_REAL)i +
negParens(A_REAL * B_BAR_IMAG)i - A_IMAG * B_BAR_IMAG}{N}
Vereinfache dies zu:
\qquad =
\dfrac{REAL_Z + IMAG_Zi}
{N} =
Z
mit
\color{orange}\operatorname{Im}(z) = \Im(z) = Y.