Seien {\color{blue}z} = X + Yi und {\color{green}w} = A + {\color{red}B} \cdot i zwei komplexe Zahlen.
Bestimmen Sie {\color{red}B}, sodass z \cdot w in dem Gebiet D liegt.
style({
stroke: "black",
strokeWidth: 2
});
graphInit({
range: [[-20, 20], [-20, 20]],
scale: [11, 11],
tickStep: 4,
labelStep: 1,
axisArrows: "->"
});
label([-4,0], "\\llap{-}4", "below");
label([0,-4], "\\llap{-}4", "left");
label([18,0], "\\operatorname{Re}", "above right");
label([0,18], "\\operatorname{Im}", "above right");
// z
circle([X, Y], 0.25, {
fill: "blue"
});
// sektor
var p11 = [rmin * Math.cos(tmin), rmin * Math.sin(tmin)];
var p12 = [rmin * Math.cos(tmax), rmin * Math.sin(tmax)];
var p21 = [rmax * Math.cos(tmin), rmax * Math.sin(tmin)];
var p22 = [rmax * Math.cos(tmax), rmax * Math.sin(tmax)];
line(p11, p21);
line(p12, p22);
arc([0,0], rmin, tmin * 180 / 3.1415, tmax * 180 / 3.1415);
arc([0,0], rmax, tmin * 180 / 3.1415, tmax * 180 / 3.1415);
label([re0, im0], "D");
[document.getElementById("custom_input").value]
var re = X*A - Y*guess;
var im = X*guess + Y*A;
var r = Math.sqrt(re*re + im*im);
var t = (2*3.1415 + atan2(im, re)) % (2*3.1415);
var dt = Math.max(Math.abs((t - tmin + 2*3.1415) % (2*3.1415)), Math.abs((t - tmax - 2*3.1415) % (2*3.1415)));
return (r >= rmin) && (r <= rmax) && dt <= 3.1415/7;
Die vertikale Gerade zeigt alle Werte, die {\color{green}w} für verschiedene Werte von {\color{red}B} annehmen kann.
line([A,-20], [A,20], {stroke: "grey"});
Eine Strategie ist nun, abzuschätzen, wie gross das Argument sein muss, um {\color{blue}z} in Richtung von D zu drehen.
Sodann muss für eine Streckung der Betrag {\color{green}|w|} noch geeignet gewählt werden.
Alternativ wählen wir einen Punkt in D.
circle([re0, im0], 0.5, {
fill: "orange"
});
Dann betrachten wir die Menge aller komplexen Zahlen der Form {\color{blue}z} \cdot (A + {\color{red}B} \cdot i).
Dies ist eine Gerade in der komplexen Ebene.
plot(function(x){
return (im0-B/re0-A*x) + B-(im0-B/re0-A) *A;
}, [-20,20], { stroke: "red" });
Wir suchen den Schnittpunkt mit der Geraden \operatorname{Re}({\color{green}w} ) = A .
circle([A, B], 0.25, {
fill: "red"
});
Wir erhalten als eine Lösung {\color{green}w} = A {\color{red} + B} \cdot i.