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utf-8
math math-format polynomials
Exponentielle Abkühlung berechnen
e-03-02
multiple
847
randRange(28,38) randRange(5,15) randRange(12,18) roundTo(1,(log(AT)-log(A0))/log(1-GR/100))

Sie sitzen an einem heissen Sommertag mit einer Lufttemperatur von A0 {}^\circ C am Strand.

Um sich mit einem kalten Getränk zu erfrischen, stellen Sie eine sich mit der Luft im Temperaturgleichgewicht befindliche Getränkedose in ihre neue Kühlbox.

Der Händler des Geräts hat ihnen eine exponentielle Abkühlung von GR\% pro Stunde des Inhalts zugesichert.

Wie viele Stunden müssen Sie ihr Getränk in der Kühlbox belassen, bevor es angenehme AT {}^\circ C erreicht hat?

Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat auf eine Stelle nach dem Komma und ignorieren Sie auftretende Einheiten.

f {\color{blue}t_{cool}} = {\color{blue}t_c} = sol

Die Termdarstellung der Temperaturfunktion hat die Form: T(t) = T_0 \cdot b^t.

Welche Bedeutung hat T(0) und welchen Wert muss T_0 daher annehmen?

Da b^0=1 gilt, ist T(0)=T_0 und beschreibt die Temperatur zu Beginn des Kühlzeitraumes, daher gilt:

T_0=A0 {}^\circ C.

Der Wert der Basis b ist gegeben durch 1 - R, wobei R die stündliche Abkühlung in Prozent ist.

Die stündliche Abkühlung ist gegeben durch R=GR\%. Die Basis b ist daher b=1-\dfrac{GR}{100}= roundTo(10,1-GR/100).

Die Gleichung für den gesuchten Zeitpunkt lautet {\color{blue}t_{cool}} = {\color{blue}t_c} daher:

T({\color{blue}t_c}) = AT {}^\circ C = A0 {}^\circ C \cdot roundTo(10,1-GR/100)^{{\color{blue}t_c}} .

Diese Gleichung müssen Sie nun nach {\color{blue}t_c} auflösen!

Division durch A0{}^\circ C liefert:

\displaystyle \frac{AT}{A0}= roundTo(10,1-GR/100)^{{\color{blue}t_c}}

Um die gesuchte Zahl {\color{blue}t_c} im Exponenten freizustellen, verwenden wir die Rechenregel des Logarithmus:
\ln a^x = x \cdot \ln a.

Wenden Sie nun den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung \displaystyle \frac{AT}{A0}= roundTo(10,1-GR/100)^{{\color{blue}t_c}} an und benutzen Sie diese Rechenregel, um nach {\color{blue}t_c} aufzulösen.

Sie finden daher die Lösung durch Berechnung von:

\displaystyle {\color{blue}t_c} = \frac{\ln \left(\frac{AT}{A0}\right)} {\ln roundTo(10,1-GR/100)} = \frac{\ln AT-\ln A0}{\ln roundTo(10,1-GR/100)}, da \ln \left(\dfrac{u}{v}\right) = \ln u - \ln v ist.

Die Lösung ist daher:

\displaystyle {\color{blue}t_c} = \frac{\ln AT-\ln A0}{\ln roundTo(10,1-GR/100)} \approx sol.