Ein Medikament werde im Körper exponentiell mit einer
Halbwertszeit \tau = T_{\frac 12}
abgebaut.
a\%
im Körper vorhanden ist?
Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat auf eine Stelle nach dem Komma.
Sei der Abbau des Medikaments beschrieben durch
M(t)=M(0)e^{-\lambda t}.
Für t = \tau = T_{\frac 12} gilt:
\displaystyle
\frac{1}{2} M(0) =M(0)e^{-\lambda \tau}
\Rightarrow
\frac{1}{2}=e^{-\lambda \tau}
und damit
\lambda =\dfrac{\ln 2}{\tau}.
Beträgt die Menge M({\color{red}t_a})
von M im
Körper zur Zeit {\color{red}t_a} nur
noch
a\% der ursprünglichen
Menge M(0), so gilt:
\displaystyle
\frac{a}{100} M(0) =
M(0)e^{-\lambda {\color{red}t_a}} und
eingesetzt:
\displaystyle
fractionReduce(a,100)
= e^{-\lambda {\color{red}t_a}}
= e^{-\frac{\ln{2}}{\tau}t} =
e^{\ln(\frac{1}{2})\frac{{\color{red}t_a}}{\tau}} =
\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{{\color{red}t_a}}{\tau}}.
Umformen mit den Rechenregeln ergibt
{{\color{red}\color{red}t_a}} =
\dfrac{\ln(100) - \ln a}{\ln 2}\cdot \tau
\approx L \cdot \tau.
L
Halbwertzeiten warten.