Seien {\color{red}a} \in \mathbb R und K das Vektorfeld mit
K(x,y) = \begin{pmatrix} {\color{red}a}\cdot \left(A \cdot e^{y^2} + B \cdot xy^2 \right)\\
fractionReduce(C,B) \cdot xye^{y^2} + fractionReduce(C,2*A) \cdot x^2y \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie {\color{red}a} so, dass K konservativ ist.
\color{red} a
=
H/(A*2)
Es ist K = \begin{pmatrix} P \\ Q \end{pmatrix} genau dann konservativ, wenn
P_{y} = Q_{x} für alle (x,y) \in \mathbb R^2.
Wir berechnen P_{y} und Q_{x}.
Dies sind P_{y} = {\color{red}a} \left( 2 \cdot A \cdot y e^{y^2} + 2 \cdot B \cdot xy \right )
und
Q_{x} = fractionReduce(C,B) ye^{y^2} + fractionReduce(C,A) \cdot x y.
Gleichsetzen ergibt
{\color{red}a} \left( 2*A \cdot y e^{y^2} + 2* B \cdot xy \right) =
{\color{blue}fractionReduce(C,B) ye^{y^2} + fractionReduce(C,A) \cdot x y}.
Um {\color{red}a} zu bestimmen, sodass die linke Seite gleich der rechten ist,
klammern auf linken Seite aus.
{\color{red}a} \left( 2*A \cdot y e^{y^2} + 2* B \cdot xy \right) =
{\color{red}a} \cdot fractionReduce(2*A*B,C) \cdot
{\color{blue}
\left( fractionReduce(C,B) ye^{y^2} + fractionReduce(C,A) \cdot x y \right)}.
Damit muss
{\color{red}a} = fractionReduce(C,2*A*B) sein.