Sei K : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 das ebene Vektorfeld mit
K(x,y) = \begin{pmatrix} A x \\ B y \end{pmatrix}.
Wie gross ist die Arbeit \color{red} W, in diesem Vektorfeld ein Teilchen aus dem Nullpunkt zum Punkt
(P,Q) zu bewegen?
\color{red} W
=
0.5 * (A*P*P + B*Q*Q)
Wir überprüfen, ob K = \begin{pmatrix} P \\ Q \end{pmatrix} konservativ ist.
Es ist K = \begin{pmatrix} P \\ Q \end{pmatrix} genau dann konservativ, wenn
P_{y} = Q_{x} für alle (x,y) \in \mathbb R^2.
Wir berechnen P_{y} und Q_{x}.
Dies ist P_{y} = 0 = Q_{x} .
In einem konservativen Vektorfeld ist die Arbeit wegunabhängig.
Der Wert des Integrals
\displaystyle \color{red} W = \int_\gamma K \cdot d\gamma hängt nicht von der Kurve \gamma ab.
Wählen wir die gradlinige Verbindung
\gamma: [0,1] \to \mathbb R^2, \gamma(t) =
t \cdot \begin{pmatrix} P\\Q\end{pmatrix}.
Dies setzen wir in die Formel für das Arbeitsintegral ein:
\displaystyle {\color{red} W =
\int_\gamma K \cdot d\gamma} =
\int_0^{1} K(t\cdot negParens(P), t\cdot negParens(Q)) \cdot \gamma'(t) \ dt =
\int_0^{1} \begin{pmatrix}
negParens(A) \cdot t\cdot negParens(P) \\ negParens(B) \cdot t\cdot
negParens(Q) \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} P\\Q\end{pmatrix} \ dt .
Damit bleibt die Berechnung eines Integrals:
\displaystyle {\color{red} W} =
\int_0^{1} t \cdot(A*P*P + B*Q*Q) \ dt
= negParens(A*P*P + B*Q*Q) \int_0^{1} t \ dt = fractionReduce(A*P*P + B*Q*Q,2).
Alternativ lässt sich die Arbeit auch mit dem Hauptsatz für Gradientenfelder lösen, da
K(x,y) = \nabla f(x,y) für f(x,y) = negParens(fractionReduce(A,2)) \cdot x^2 +
negParens(fractionReduce(B,2))\cdot y^2 + C.