Sei K : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 das ebene Vektorfeld mit
K(x,y) = \begin{pmatrix} negParens(A) \cdot x \\ negParens(B) \cdot y \end{pmatrix}.
Wie gross ist die Arbeit \color{red} W, in diesem Vektorfeld ein Teilchen von
\color{orange} (X,Y) nach
\color{blue} (P,Q) zu bewegen?
\color{red} W =
(A*0.5) * (P*P - X*X) + (B*0.5) * (Q*Q - Y*Y)
Wir überprüfen, ob K = \begin{pmatrix} P \\ Q \end{pmatrix} konservativ ist.
Es ist K = \begin{pmatrix} P \\ Q \end{pmatrix} genau dann konservativ, wenn
P_{y} = Q_{x} für alle (x,y) \in \mathbb R^2.
Wir berechnen P_{y} und Q_{x}.
Dies ist P_{y} = 0 = Q_{x} .
In einem konservativen Vektorfeld ist die Arbeit wegunabhängig.
Der Wert des Integrals
\displaystyle \color{red} W = \int_\gamma K \cdot d\gamma hängt nicht von der Kurve \gamma ab.
Wählen wir die gradlinige Verbindung von {\color{orange}(X,Y)} nach
\color{blue} (P,Q).
Zum Beispiel:
\gamma: [0,1] \to \mathbb R^2, \gamma(t) = { \color{orange}\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} }+
t \cdot \begin{pmatrix} P-X\\Q-Y\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} X + negParens(P-X) \cdot t \\
Y + negParens(Q-Y) \cdot t \end{pmatrix} .
Dies setzen wir in die Formel für das Arbeitsintegral ein:
\displaystyle {\color{red} W =
\int_\gamma K \cdot d\gamma} =
\int_0^{1} K({\color{teal}X + negParens(P-X) \cdot t}, Y + negParens(Q-Y) \cdot t ) \cdot \gamma'(t) \ dt
=
\int_0^{1} \begin{pmatrix}
negParens(A) \cdot \left({\color{teal}X + negParens(P-X) \cdot t} \right) \\ negParens(B) \cdot \left(
Y + negParens(Q-Y) \cdot t \right) \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} P-X\\Q-Y\end{pmatrix} \ dt .
Damit bleibt die Berechnung eines Integrals:
\displaystyle {\color{red} W} =
\int_0^{1} (A*(P-X)*X + B*(Q-Y)*Y + t \cdot negParens(A*(P-X)*(P-X) + B*(Q-Y)*(Q-Y))) \ dt
= A*(P-X)*X + B*(Q-Y)*Y + \frac 12 \cdot negParens(A*(P-X)*(P-X) + B*(Q-Y)*(Q-Y))
= A*(P-X)*X + B*(Q-Y)*Y+ 0.5*A*(P-X)*(P-X) + 0.5* B*(Q-Y)*(Q-Y).
Alternativ lässt sich die Arbeit auch mit dem Hauptsatz für Gradientenfelder lösen, da
K(x,y) = \nabla f(x,y) für f(x,y) = negParens(fractionReduce(A,2)) \cdot x^2 +
negParens(fractionReduce(B,2))\cdot y^2 + C.