Gegeben sei die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A x + B y
und das Rechteck unten mit Randkurve \gamma.
Berechnen Sie das Kurvenintegral
\displaystyle \int_\gamma f ds.
\displaystyle \int_\gamma f ds=
Für die Berechnung zerlegen wir das Kurvenintegral
\displaystyle \int_\gamma f ds in die Summe über die Integrale entlang
der Rechteckkanten:
\displaystyle \int_\gamma f ds = {\color{orange} \int_{\gamma_1} f ds} + {\color{blue}\int_{\gamma_2} f ds} +
{\color{purple}\int_{\gamma_3} f ds} +{\color{red} \int_{\gamma_4} f ds}.
Wir parametrisieren die 1. Kante zum Beispiel durch
{\color{orange}\gamma_1}: [0,1] \to \mathbb R^2, {\color{orange}\gamma_1}(t) = \begin{pmatrix} 0 \\
0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} X \\
0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} X t \\
0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}.
Damit und der Definition des Kurvenintegral rechnen wir
\displaystyle {\color{orange} \int_{\gamma_1} f ds} =
\int_0^{1} f(x(t),y(t)) \cdot |{\color{orange}\gamma_1'}(t)| \ dt =
\int_0^{1} (negParens(A) \cdot negParens(X)t + 0) \cdot abs(X) \ dt =
negParens(A * X * abs(X)) \int_0^{1} t \ dt .
Berechnen wir noch das bestimmte Integral, erhalten wir
\displaystyle {\color{orange} \int_{\gamma_1} f ds} =
fractionReduce(A * X * abs(X),2).
Wir parametrisieren die 2. Kante zum Beispiel durch
{\color{blue}\gamma_2}: [0,1] \to \mathbb R^2, {\color{blue}\gamma_2}(t) =
\begin{pmatrix} {\color{teal}X} \\ {\color{magenta} Y t} \end{pmatrix}
.
Damit rechnen wir
\displaystyle {\color{blue} \int_{\gamma_2} f ds} =
\int_0^{1} (negParens(A) \cdot {\color{teal}negParens(X)} + (negParens(B) \cdot
{\color{magenta} negParens(Y) t} ) \cdot abs(Y) \ dt =
\int_0^{1} negParens(A *X *abs(Y)) \ dt +negParens(B *Y * abs(Y)) \int_0^{1} t \ dt =
A *X *abs(Y) + 0.5 * B *Y * abs(Y)
.
Parametrisieren der verbleibenden Kanten gelingt zum Beispiel wieder für 0 \leq t \leq 1
durch
{\color{purple}\gamma_3}(t) =
\begin{pmatrix} (1-t)negParens(X) \\ Y \end{pmatrix}
und
{\color{red}\gamma_4}(t) =
\begin{pmatrix} 0 \\ (1-t)negParens(Y) \end{pmatrix}
und berechnen damit
\displaystyle {\color{purple} \int_{\gamma_3} f ds} =
X/2 * A *abs(X) + B*Y * abs(X)
und
\displaystyle {\color{red} \int_{\gamma_4} f ds} =
1/2 *abs(Y) * B*Y
.
Zusammen
\displaystyle \int_\gamma f ds = {\color{orange} \int_{\gamma_1} f ds} + {\color{blue}\int_{\gamma_2} f ds} +
{\color{purple}\int_{\gamma_3} f ds} +{\color{red} \int_{\gamma_4} f ds} =
A * X * abs(X) + A *X *abs(Y) + B *Y * abs(Y) + B*Y * abs(X).