Verwenden Sie das Additions- (und das Subtraktions-)Theorem für Sinus, um den Integranden umzuschreiben:
\sin (\alpha + \beta) = \sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) + \cos (\alpha) \cdot \sin (\beta)
\sin (\alpha - \beta) = \sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) - \cos (\alpha) \cdot \sin (\beta)

Durch Addition der beiden obigen Formeln und richtiges Auflösen folgt:

\displaystyle \sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \alpha + \beta\right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) \right)

Somit wird der Integrand zu \displaystyle \sin ( M x) \cdot \cos ( N x) = \frac{1}{2} \left( \sin \left( M+N x \right) + \sin \left( M-N x \right) \right) ,

und es bleibt folgende einfachere Rechnung:

\displaystyle {\color{orange}I} = \frac{1}{2} \int \sin \left( M+N x \right) + \sin \left( M-N x \right) \, {\rm d} x = \frac{1}{2} \left ( fraction(-1,M+N) \cos ((M+N)x)+ fraction(-1,M-N) \cos ((M-N)x)\right)+C = fraction(-1,2*(M+N)) \cos ((M+N)x)+ fraction(-1,2*(M-N)) \cos ((M-N)x)+C

PS: Berechnen Sie {\color{orange}I} auch mit der Partiellen Integration - was stellen Sie fest?