de-CH
utf-8
math math-format
Taylor-Polynom zweiten Grades
dgl-05-02
multiple
840
randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1, A, -A] ) A randRange(2, 5) 1 2*F*X0 - (A+B)*F 4*F*F*X0*X0 - 4*F * (A+B)*F *X0 + 2* F + (A+B)*(A+B)*F*F

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = e^{Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F}.

Bestimmen Sie das zweite Taylor-Polynom an der Stelle x_0 = X0.

x \displaystyle \color{teal}T_2 (x) = A0 + " + " + A1 + " (x- " + X0 + ") + " + fractionReduce(A2,2) + " (x- " + X0 + ")^2"

Wir suchen \displaystyle \color{teal}T_2 (x) = f(X0) + f'(X0)(x- X0) + \frac 12 f''(X0)(x- X0)^2.

Es ist \displaystyle f(X0) = 1, und wir rechnen die beiden fehlenden Werte \displaystyle f'(X0) und \displaystyle f''(X0) aus:

Es ist \displaystyle f'(x) = (2*Fx- (A+B)*F)\cdot f(x) und damit \displaystyle f'(X0) = A1.

Nochmals Ableiten liefert \displaystyle f''(x) = (4*F*Fx^2 - 4*F * (A+B)*F x + 2* F + (A+B)*(A+B)*F*F )\cdot f(x) und damit \displaystyle f''(X0) = A2.

Eingesetzt also \displaystyle T_2(x) = A0+ A1 (x- X0) + fractionReduce(A2,2) (x- X0) ^2 .