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Anwendung Kettenregel
i-XX-01
number
64
randRange(2,10) randRange(2,10)

Thomas A. Peterman entdeckte, dass bei gewissen opportunistischen Infektionskrankheiten der zeitliche Verlauf wie folgt beschrieben wird:

Sei B(t)>0 der Anteil aller Infizierter, bei denen im zeitlichen Abstand t>0 (in Jahren) nach der Infektion noch nicht das volle Krankheitsbild feststellbar ist.

Dann gilt: \displaystyle \frac{B'(t)}{B(t)}=-a\cdot t^n,

mit B(0)=1 und den hier krankheitsspezifischen Konstanten a=a und n=n.

Bestimmen Sie {\color{red}\lambda}, sodass die Funktion B mit \displaystyle B(t)=e^{-{\color{red}\lambda} t^{n+1}} die Gleichung oben erfüllt.

a/(n+1)

Leiten Sie B mit \displaystyle B(t)=e^{-{\color{red}\lambda} t^{n+1}} nach t ab.

Es ist mit Kettenregel:

\displaystyle B'(t)=\left(-{\color{red}\lambda} t^{n+1}\right)' \cdot e^{-{\color{red}\lambda} t^{n+1}} = -{\color{red}\lambda} (n+1 t^{n}) \cdot B(t).

Damit folgt

\displaystyle \frac{B'(t)}{B(t)}= \frac{- {\color{red}\lambda} (n+1 t^{n}) \cdot B(t)}{B(t)} = - {\color{red}\lambda} (n+1 t^{n}).

Setzen wir dies in auf der linken Seite von \displaystyle \frac{B'(t)}{B(t)}=-a\cdot t^n = -a\cdot t^{n} ein, bleibt \displaystyle -{\color{red}\lambda} (n+1 t^{n}) = -a\cdot t^{n}.

Diese Gleichung ist genau dann für alle t>0 erfüllt, wenn {\color{red}\lambda} = fractionReduce(a,n+1) gilt.