Gegeben sei die Diferentialgleichung
y'(t) = A\cdot y(t) +B.
Bestimmen Sie {\color{red}a} und {\color{blue}b},
sodass für alle reellen Zahlen C die Funktion y mit
y(t) = C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b}
diese Differentialgleichung erfüllt.
\color{red}a
=
A
\color{blue}b
=
-B/A
Setze die Funktion
y(t) = C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b}
in die Diferentialgleichung
y'(t) = A\cdot y(t) +B ein.
Es y'(t) = \left (C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b}\right)' =
{\color{red}a} \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t}.
Damit folgt {\color{red}a} \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} =
A\cdot \left(C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b} \right) +B
= A \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} +\left( A {\color{blue}b}+ B \right) .
Da die Gleichung für alle reellen Zahlen C erfüllt sein soll, gilt dies auch für C = 0.
Wir lösen A {\color{blue}b}+ B=0 nach {\color{blue}b} auf.
Das liefert {\color{blue}b} = \dfrac{-B}{A} = fractionReduce(-B,A).
Setze {\color{blue}b} in {\color{red}a} \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t}
= A \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} +\left( A {\color{blue}b}+ B \right)
mit t = 0 ein.
Das ergibt {\color{red}a} \cdot C \cdot 1
= A \cdot C \cdot 1+\left( A {\color{blue}b}+ B \right)
= A \cdot C +0 und schlussendlich {\color{red}a} = A .