Gegeben sei die Diferentialgleichung
y'(x) = p(x)\cdot y(x) mit p(x) = 3x^2 - 2*(A+B+C)x + A*B+A*C + B*C
und y(0) = 1.
Bestimmen Sie den Wert \color{orange}\ln \left( y(L) \right)
der Lösungsfunktion des AWP.
\color{orange}\ln \left( y(L) \right)
=
pow(L,3) -(A+B+C)*L*L+(A*B+A*C+B*C)*L
Die Allgemeine Lösung einer linearen homogenen DGL y'(x) = p(x)\cdot y(x)
ist y(x) = K \cdot e^{P(x)}
mit einer Konstanten K und einer Stammfunktion
\displaystyle P(x) \in \int p(x) dx von p.
Es ist \displaystyle P(x) \in \int p(x) dx =
\int \left( 3x^2 - 2*(A+B+C)x + A*B+A*C + B*C \right) dx=
x^3 -(A+B+C)x^2+A*B+A*C+B*Cx+C.
Die Integrationskonstante
C wird durch die Anfangsbedingung y(0) = 1 festgelegt.
Damit sind C = 0 und
y(x) = e^{x^3 -(A+B+C)x^2+A*B+A*C+B*Cx}.
Einsetzen liefert {\color{orange}\ln \left( y(L) \right)} =
\ln \left(e^{L^3 -(A+B+C)\cdot L^2+A*B+A*C+B*C\cdot L} \right) =
pow(L,3) -(A+B+C)*L*L+(A*B+A*C+B*C)*L.