Gegeben sei die Diferentialgleichung
y'(x) = p(x)\cdot y(x) + {\color{purple}q(x)} mit p(x) = 2x - A+B,
\color{purple}q(x) =e^{x^2 - A+Bx +A*B}
und y(0) = 0.
Bestimmen Sie den Wert \color{orange} y(C)
der Lösungsfunktion des AWP.
\color{orange} y(C)
=
C
Wir bestimmen zunächst die Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL y'(x) = p(x)\cdot y(x).
Dies ist y(x) = K \cdot e^{P(x)}
mit einer Konstanten K und einer Stammfunktion
\displaystyle P(x) \in \int p(x) dx von p.
Es ist \displaystyle P(x) \in \int p(x) dx =
\int \left( 2x - A+B\right) dx=
x^2 -A+Bx+K.
Die Integrationskonstante
K wird durch die Anfangsbedingung y(0) = 0 festgelegt.
Mit Variation der Konstanten folgt, dass die Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL
\displaystyle y(x) = \left( \int e^{-P(x)} \cdot q(x) dx + C \right) e^{P(x)} ist.
Wir rechnen mit e^{-P(x)} \cdot q(x) = e^{-x^2 +A+Bx} e^{x^2 - A+Bx +A*B}
= e^{A*B}
und \displaystyle \int e^{-P(x)} \cdot q(x) dx = \int e^{A*B} dx = x e^{A*B} +C .
In der Allgemeinen Lösung \displaystyle y(x) = \left( x e^{A*B} + C \right) e^{P(x)}
finden wir die Konstante C durch
y(0) = 0 = \left( 0 \cdot e^{A*B} + C \right) e^{P(0)}
= C.
Insgesamt ist die Lösung des AWP \displaystyle y(x) = x e^{A*B} e^{P(x)} =
e^{A*B} x e^{x^2 -A+Bx}.
Einsetzen liefert {\color{orange} y(C)} =
e^{A*B} \cdot C \cdot e^{C^2 -A+B\cdot C} =
e^{A*B} \cdot C \cdot e^{-A*B} = C
.