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Stationäre Lösungen: Konvergenz
dgl-05-02
multiple
1000
randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] ) randRange(2, 5)
randRange(2, 9) randRange(2, C) randRangeExclude(A, D, [A, B, D] )

Gegeben sei die DGL y'= (Cy- D*C) (Fy^2 - (A+B)*F y + A*B*F) mit Startwert y_0 = Y und Lösung t \mapsto y(t).

Bestimmen Sie \displaystyle \color{teal}\lim_{t \to \infty} y(t).

x \displaystyle \color{teal}\lim_{t \to \infty} y(t) = B

Stationäre Lösungen {\color{orange}y_{\infty}} mit {\color{orange}y'_{\infty}} = 0 sind Kandidaten für Asymptoten.

Um diese zu finden, suchen wir Nullstellen der rechten Seite der DGL (Cy- D*C) (Fy^2 - (A+B)*F y + A*B*F).

Diese vereinfacht sich zu C*F(y- D) (y - A) (y - B), sodass wir die Stationäre Lösungen direkt mit {\color{orange}y_{\infty}} \in \{ A, B, D\} ablesen können.

Für die Konvergenz betrachten wir den Graph der Funktion F mit F(y)=C*F(y- D) (y - A) (y - B).

Sein qualitativer Verlauf ist:

graphInit({ range: [[ -10, 10 ] ,[ -20, 20 ]], scale: [ 10, 10 ], gridStep: [ 2, 2 ], tickStep: [ 10, 10 ], labelStep: [ 10, 10 ], unityLabels: true, }); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return 0.1 * (x - A) * (x - B) * (x - D) ; }, [ A-1, D+1 ] ); }); style({ fill: BLACK, stroke: BLACK }); circle( [A, 0], 0.25 ); style({ fill: PURPLE, stroke: RED }); circle( [B, 0], 0.25 ); style({ fill: ORANGE, stroke: ORANGE }); circle( [D, 0], 0.25 );

Dort sehen wir auch den Startwert {\color{blue}y_0= Y}

style({ fill: BLUE, stroke: BLUE }); circle( [Y, 0], 0.25 );

Es ist F(y_0) < 0. Da damit y'(t_0) = F(y_0) < 0 ist die Lösung zu Beginn und im weiteren Verlauf eine streng monoton fallende Funktion. Dies gilt, solange F(y) < 0, und schlussendlich \displaystyle \color{teal}\lim_{t \to \infty} y(t) = B.

Es ist F(y_0) > 0. Da damit y'(t_0) = F(y_0) > 0 ist die Lösung zu Beginn und im weiteren Verlauf eine streng monoton wachsende Funktion. Dies gilt, solange F(y) > 0, und schlussendlich \displaystyle \color{teal}\lim_{t \to \infty} y(t) = B.