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Trennung der Variablen: Lösungsfunktion
dgl-06-02
multiple
17280
0 randRangeExclude(-4, 4, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-4, 4, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-4, 4, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-4, 4, [-1,0,1, A, -A] ) fractionReduce(-B, A) randRangeExclude(2,6,[5]) M-1 "\\frac{" + N + "}{" + M + "}" "\\frac{" + 1 + "}{" + M + "}" M pow(M,M)

Bestimmen Sie die Lösung des AWP y'(x) = (V x + W) \left(A y(x) + B\right)^{\frac{N}{M}} mit f(0) = Y0.

x f(x) = 1/A * (fractionReduce(A*V,2*M) * x^2 + fractionReduce(W*A,M) x )^{M} - fractionReduce(B,A)

Wir suchen zunächst die Funktion f mit der Trennung der Variablen.

Wir stellen die DGL um y'(x) = \dfrac{dy}{dx} = (V x + W) \left(A y(x) + B\right)^{ K}\implies \left(A y(x) + B\right)^{-K} \ dy = (V x + W) \ dx.

Jetzt suchen wir Stammfunktionen \displaystyle \int \left(A y(x) + B\right)^{-K} \ dy = \int (V x + W) \ dx = fractionReduce(V,2)x^2 + W x + C.

Für die linke Seite \displaystyle \int \left(A y(x) + B\right)^{-K} \ dy ergibt sich zum Beispiel mit Substitution als eine Stammfunktion \displaystyle fractionReduce(M, A) (A y(x) + B)^{KK}.

Nach Gleichsetzen \displaystyle fractionReduce(M, A) (A y(x) + B)^{KK} = fractionReduce(V,2)x^2 + W x + C bestimmen wir zunächst die Konstante C=0, in dem wir x = 0 und f(0) = Y0 ausnutzen.

Bleibt noch, die Gleichung nach y(x) aufzulösen:

\displaystyle fractionReduce(M, A) (A y(x) + B)^{KK} = fractionReduce(V,2)x^2 + W x \implies (A y(x) + B)^{KK} = fractionReduce(A*V,2*M)x^2 + fractionReduce(W*A,M) x \implies y(x) = \frac 1{A}\left(fractionReduce(A*V,2*M)x^2 + fractionReduce(W*A,M) x \right)^{M} - fractionReduce(B,A).