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Trennung der Variablen: Lösungsfunktion
dgl-06-04
multiple
8748
randRangeNonZero(-6, 6) randRangeExclude(-6, 6,[-1,0,1]) randRangeExclude(-6, 6,[-1,0,1]) randRangeExclude(-6, 6,[-1,0,1])

Bestimmen Sie die Lösung die allgemeine Lösung der DGL y'(x) = \dfrac{2*Bx + C}{Bx^2 + Cx + D}(y(x) + A)^2 und für den Anfangswert y(0) = 0 die Konstante \color{red}C.

x y(x) = -\frac{1}{\ln |Bx^2 + Cx +D| + C} - A
c \color{red}C = -\lnabs(D) - 1/A

Wir suchen die allgemeine Lösung mit der Trennung der Variablen.

Wir stellen die DGL um: y'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2*Bx + C}{Bx^2 + Cx + D}(y(x) + A)^2 \implies \dfrac{1}{(y(x) + A)^2} \ dy = \dfrac{2*Bx + C}{Bx^2 + Cx +D} \ dx.

Jetzt suchen wir Stammfunktionen \displaystyle \int \dfrac{1}{(y(x) + A)^2} \ dy = - \dfrac{1}{(y(x) + A)} = \int\dfrac{2*Bx + C}{Bx^2 + Cx +D} \ dx = \ln|Bx^2 + Cx +D| + C.

Dabei haben wir rechts zum Beispiel die Formel \displaystyle \int\dfrac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln| f(x)| + C (mit Substitution und Zähler ist Ableitung des Nenners) verwendet.

Bleibt noch, die Gleichung \displaystyle = - \dfrac{1}{(y(x) + A)} = \ln |Bx^2 + Cx +D| + C nach y(x) aufzulösen:

Mit Kehrwert und Subtraktion folgt \displaystyle y(x) = -\dfrac{1}{\ln |Bx^2 + Cx +D| + C} - A.

Für die Konstante C setzen wir x=0 ein und erhalten mit y(0) = 0:

\displaystyle y(0) = 0 = - \dfrac{1}{\ln |D| +C} - A = - \dfrac{1}{\ln (abs(D)) +C} - A \implies {\color{red} C = - \ln(abs(D)) - \frac{1}{A}}.