Bestimmen Sie die Lösung die allgemeine Lösung der DGL
y'(x) = \dfrac{C}{Cx + D}(y(x) + A)^2
und für den Anfangswert y(0) = 0 die Konstante \color{red}C.
y(x)
=
-\frac{1}{\ln |Cx +D| + C} - A
\color{red}C
=
-\lnabs(D) - 1/A
Wir suchen die allgemeine Lösung mit der Trennung der Variablen.
Wir stellen die DGL um: y'(x) = \dfrac{dy}{dx}
= \dfrac{C}{Cx + D}(y(x) + A)^2
\implies \dfrac{1}{(y(x) + A)^2} \ dy
= \dfrac{C}{Cx +D} \ dx.
Jetzt suchen wir Stammfunktionen \displaystyle
\int \dfrac{1}{(y(x) + A)^2} \ dy = - \dfrac{1}{(y(x) + A)}
= \int\dfrac{C}{Cx +D} \ dx
= \ln|Cx +D| + C.
Dabei haben wir rechts zum Beispiel die Formel \displaystyle \int\dfrac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \ln| f(x)| + C (mit Substitution
und Zähler ist Ableitung des Nenners) verwendet.
Bleibt noch, die Gleichung \displaystyle = - \dfrac{1}{(y(x) + A)}
= \ln |Cx +D| + C
nach y(x) aufzulösen:
Mit Kehrwert und Subtraktion folgt \displaystyle
y(x) = -\dfrac{1}{\ln |Cx +D| + C} - A.
Für die Konstante C setzen wir x=0 ein und erhalten
mit y(0) = 0:
\displaystyle
y(0) = 0 = - \dfrac{1}{\ln |D| +C} - A = - \dfrac{1}{\ln (abs(D)) +C} - A
\implies {\color{red} C = - \ln(abs(D)) - \frac{1}{A}}.