Die Matrix
A=
\begin{pmatrix}
A11 & A12 & A13 \\
A21 & {\color{red}b} & A23\\
A31 & A32 & A33
\end{pmatrix}
hat v =
\begin{pmatrix}
X \\ Y \\ Z
\end{pmatrix}
als einen Eigenvektor.
{\color{red}b}.
\color{red} b
=
L2
Zu einem Eigenvektor v gibt es einen Eigenwert \color{orange}\lambda mit
A \cdot v = {\color{orange}\lambda} \cdot v.
Suche also {\color{red}b}, sodass diese Gleichung erfüllt ist, das heisst, es gibt
ein {\color{orange}\lambda} mit
\begin{pmatrix}
A11 & A12 & A13 \\
A21 & {\color{red}b} & A23\\
A31 & A32 & A33
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
X \\ Y \\ Z
\end{pmatrix} = {\color{orange}\lambda} \cdot \begin{pmatrix}
X \\ Y \\ Z
\end{pmatrix}.
Rechnen auf der linken Seite gibt
\begin{pmatrix}
A11 & A12 & A13 \\
A21 & {\color{red}b} & A23\\
A31 & A32 & A33
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
X \\ Y \\ Z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
negParens(A11) \cdot negParens(X) +
negParens(A12) \cdot negParens(Y) +
negParens(A13) \cdot negParens(Z) \\
negParens(A21) \cdot negParens(X) +
{\color{red}b} \cdot negParens(Y) +
negParens(A23) \cdot negParens(Z) \\
negParens(A31) \cdot negParens(X) +
negParens(A32) \cdot negParens(Y) +
negParens(A33) \cdot negParens(Z)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
A11 * X + A12 * Y + A13 * Z \\
{\color{red}b} \\ 0
\end{pmatrix}= {\color{orange}L2} \cdot
\begin{pmatrix}
X \\
\dfrac{\color{red}b}{L2} \\ 0
\end{pmatrix}.
Mit {\color{red}b} = {\color{orange}\lambda} = {\color{orange}L2}
ist die Gleichung A \cdot v = {\color{orange}\lambda} \cdot v oben erfüllt.
PS: Die Eigenwerte einer (oberen oder unteren) Dreiecksmatrix sind die Einträgen auf der Diagonalen,
also hier wussten wir: schon {\color{orange}\lambda} \in \{A11,
{\color{red}b}, A33\}.