{\color{blue}\lambda_1} =
{\color{red}X} =
Gegeben sei die Matrix
A =
\begin{pmatrix} A & B\\
C & D \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie EW {\color{blue}\lambda_{1,2}} und
jeweils den fehlenden Eintrag {\color{red}X}, sodass
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
Y \end{pmatrix}
ein Eigenvektor zum Eigenwert {\color{blue}\lambda_{1,2}} ist.
{\color{blue}\lambda_1} =
{\color{red}X} =
{\color{blue}\lambda_2} =
{\color{red}X}=
Wir suchen {\color{blue}\lambda} und {\color{red}X}
mit A \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}X} \\ Y \end{pmatrix} =
{\color{blue}\lambda} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}X} \\ Y \end{pmatrix} .
Zunächst bestimmen wir {\color{blue}\lambda} als eine Nullstelle des Charakteristischen
Polynoms
\lambda^2 - L1+L2 \cdot \lambda + L1 *L2 =
(\lambda - L1) \cdot (\lambda - L2).
Wir rechnen \begin{pmatrix} A & B\\
C & D \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}X} \\ Y \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
negParens(A) \cdot {\color{red}X} + negParens(B) \cdot negParens(Y) \\
negParens(C) \cdot {\color{red}X} + negParens(D) \cdot negParens(Y)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
negParens(A) \cdot {\color{red}X} + B*Y \\
negParens(C) \cdot {\color{red}X} + D*Y
\end{pmatrix}
und wählen {\color{blue}\lambda} = L1.
Wir suchen also {\color{red}X} mit
\begin{pmatrix}
A {\color{red}X} + B*Y \\
C {\color{red}X} + D*Y
\end{pmatrix} = {\color{blue}L1} \cdot
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\ Y \end{pmatrix}.
Mit der zweiten Zeile
C {\color{red}X} + D*Y
= L1*Y können wir dann
{\color{red}X} = fractionReduce((L1-D)*Y,C) bestimmen.
Mit diesen Werten {\color{red}X} = fractionReduce((L1-D)*Y,C)
und {\color{blue}\lambda} = L1
ist auch die erste Gleichung fractionReduce(A*(L1-D)*Y + B*Y*C,C) =
fractionReduce(L1*(L1-D)*Y,C)
erfüllt.
Genauso erhalten wir {\color{red}X} = fractionReduce((L2-D)*Y,C)
für den EV zum EW {\color{blue}\lambda} = L2.