de-CH
utf-8
math
Partielle Integration
i-07-01
expression
3
[ ["x", "-\\cos(x)", "1", "\\sin(x)", "x\\sin(x)", "-\\cos(x)", "-x\\cos(x) + \\sin(x)"], ["x", "\\sin(x)", "1", "\\cos(x)", "x\\cos(x)", "\\sin(x)", "x\\sin(x) + \\cos(x)"], ["x", "e^x", "1", "e^x", "xe^x", "e^x", "xe^x - e^x"] ] randRange(0,functionBank.length-1) functionBank[fNum]

Bestimmen Sie \displaystyle \int f[4] \; dx.

Verwenden Sie C als Integrationskonstante.

f[6] + C

Bei der partiellen Integration verwenden wir, dass gilt

\displaystyle \int f(x)g'(x) \; dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\; dx + C .

Eine geeignete Wahl von f und g soll dazu führen, dass eine Stammfunktion von f'(x)g(x) einfacher zu finden ist als eine von f(x)g'(x).

Hier eignen sich \displaystyle f(x) = f[0] und \displaystyle g'(x) = f[3].

Mit \displaystyle f'(x) = f[2] und \displaystyle \color{blue}{g(x) = f[1]}, ist dann

\displaystyle f'(x){\color{blue}g(x)} = f[2] \cdot \left(f[1] \right) = f[5] .

(Hier ist für \displaystyle \int g'(x) \; dx = g(x) die Integrationskonstante C=0.)

Bestimmen Sie \displaystyle \int f[5] \; dx.

Es ist \displaystyle f(x){\color{blue}g(x)} = f[0] \cdot \left(\color{blue}{f[1]} \right) .

Und zusammen

\displaystyle \int f[4] \; dx = f[6] + C.