de-CH
utf-8
math
Partielle Integration
i-07-02
expression
8
randRange(2,9) ["\\ln(x)", "\\frac{1}{"+(n+1)+"}x^{"+(n+1)+"}", "\\frac{1}{x}", "x^"+n+"", "x^"+n+"\\ln(x)", "\\frac{1}{"+(n+1)+"}x^{"+n+"}", "\\frac{1}{"+(n+1)+"}x^{"+(n+1)+"}\\ln(x) - \\frac{1}{"+(n+1)*(n+1)+"}x^{"+(n+1)+"}"]

Bestimmen Sie \displaystyle \int f[4] \; dx.

Verwenden Sie C als Integrationskonstante.

f[6] + C

Bei der partiellen Integration verwenden wir, dass gilt

\displaystyle \int f(x)g'(x)\; dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \; dx + C .

Eine geeignete Wahl von f und g soll dazu führen, dass eine Stammfunktion von f'(x)g(x) einfacher zu finden ist als eine von f(x)g'(x).

Hier eignen sich \displaystyle f(x) = f[0] und \displaystyle g'(x) = f[3].

Mit \displaystyle f'(x) = f[2] und \displaystyle \color{blue}{g(x) = f[1]}, ist dann

\displaystyle f'(x){\color{blue}g(x)} = f[2] \cdot \left({\color{blue}f[1]}\right) = f[5] .

(Hier ist für \displaystyle \int g'(x) dx = g(x) die Integrationskonstante C=0.)

Bestimmen Sie \displaystyle \int f[5] \; dx.

Es ist \displaystyle f(x){\color{blue}g(x)} = f[0] \cdot \left( {\color{blue}f[1]} \right) = f[1]f[0] .

Und zusammen

\displaystyle \int f[4] \; dx = f[6] + C.