de-CH
utf-8
math
Partielle Integration
i-07-03
expression
3
[ ["x^2", "-\\cos(x)", "2x", "\\sin(x)", "x^2\\sin(x)", "-2x\\cos(x)", "-x^2\\cos(x) + 2x\\sin(x) + 2\\cos(x)", "- (2x\\sin(x) + 2\\cos(x))"], ["x^2", "\\sin(x)", "2x", "\\cos(x)", "x^2\\cos(x)", "2x\\sin(x)", "x^2\\sin(x) + 2x\\cos(x) - 2\\sin(x)", "-2x\\cos(x) + 2\\sin(x)"], ["x^2", "e^x", "2x", "e^x", "x^2e^x", "2xe^x", "x^2e^x - 2xe^x + 2 e^x", "2xe^x - 2 e^x"] ] randRange(0,functionBank.length-1) functionBank[fNum]

Bestimmen Sie \displaystyle \int f[4] \; dx.

Verwenden Sie C als Integrationskonstante.

f[6] + C

Bei der partiellen Integration verwenden wir, dass gilt

\displaystyle \int f(x)g'(x) \; dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\; dx + C.

Eine geeignete Wahl von f und g soll dazu führen, dass eine Stammfunktion von f'(x)g(x) einfacher zu finden ist als eine von f(x)g'(x).

Hier eignen sich \displaystyle f(x) = f[0] und \displaystyle g'(x) = f[3].

Mit \displaystyle f'(x) = f[2] und \displaystyle \color{blue}{g(x) = f[1]}, ist dann

\displaystyle f'(x){\color{blue}g(x)} = f[2] \cdot \left(f[1] \right) = f[5] .

(Hier ist für \displaystyle \int g'(x) dx = g(x) die Integrationskonstante C=0.)

Verifizieren Sie

\displaystyle \int f[5] \; dx = f[7] + C

mit einer weiteren Partiellen Integration.

Es ist \displaystyle f(x){\color{blue}g(x)} = f[0] \cdot \left( {\color{blue}f[1]} \right).

Damit zusammen

\displaystyle \int f[4] \; dx = f[6] + C.