de-CH
utf-8
math
Stammfunktion einer Rationalen Funktion mit Substitution
i-08-03
expression
120
randRangeNonZero(-6,6) randRange(1,10)

Bestimmen Sie \displaystyle \int \frac{4*Ax^3+ 2*Ax}{x^4+x^2+B} \; dx.

Verwenden Sie C als Integrationskonstante.
A*ln(x^4+x^2+B)+C

Klammeren Sie zunächst im Zähler \color{blue}{A} aus:

\displaystyle \frac{4*Ax^3+ 2*Ax}{x^4+x^2+B} = \color{blue}{A} \frac{4 x^3+ 2x}{x^4+x^2+B}.

Wir sehen nun, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist:

(x^4+x^2+B)' = 4 x^3+ 2x.

Mit der Substitutionsregel ist für eine Funktion f mit f(x) > 0:

\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln(f(x)) +C.

Hier erhalten wir \displaystyle \int \frac{4 x^3+ 2x}{x^4+x^2+B} = \ln(x^4+x^2+B) +C \, .

Und zusammen

\displaystyle \int \frac{4*Ax^3+ 2*Ax}{x^4+x^2+B} \;dx =\color{blue}{A} \ln(x^4+x^2+B) +C \, .