Bestimmen Sie
\displaystyle
\int \frac{4*Ax^3+ 2*Ax}{x^4+x^2+B}
\; dx.
C als Integrationskonstante.
Klammeren Sie zunächst im Zähler
\color{blue}{A} aus:
\displaystyle
\frac{4*Ax^3+ 2*Ax}{x^4+x^2+B}
= \color{blue}{A}
\frac{4 x^3+ 2x}{x^4+x^2+B}.
Wir sehen nun, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist:
(x^4+x^2+B)' = 4 x^3+ 2x.
Mit der Substitutionsregel ist für eine Funktion f
mit f(x) > 0:
\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln(f(x)) +C.
Hier erhalten wir
\displaystyle \int \frac{4 x^3+ 2x}{x^4+x^2+B} =
\ln(x^4+x^2+B) +C \, .
Und zusammen
\displaystyle
\int
\frac{4*Ax^3+ 2*Ax}{x^4+x^2+B}
\;dx =\color{blue}{A}
\ln(x^4+x^2+B) +C \, .