de-CH
utf-8
math math-format
Partialbruchzerlegung
i-09-01
multiple
500000
randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1,A, -A] ) randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1,B,A] ) randRange(2, 9) randRange(2, C) 0 randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] ) randRangeExclude(-8, 8, [-1,0,1] ) fractionReduce(U*D*D + V*D + W, (D-A)*(D-B)) fractionReduce(U*A*A + V*A + W, (A-B)*(A-D)) fractionReduce(U*B*B + V*B + W, (B-D)*(B-A)) fractionReduce(U*D*D + V*D + W, (D-A)*(D-B) *C*F) fractionReduce(U*A*A + V*A + W, (A-B)*(A-D) *C*F) fractionReduce(U*B*B + V*B + W, (B-D)*(B-A) *C*F) AA1 + " \\ln | x- " + D + " | + " + AA2 + " \\ln | x- " + A + " | + " + AA3 + " \\ln | x- " + B + "| + C "

Berechnen Sie \displaystyle \int f(x) \ dx = \int \frac{V x + W} {(Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F)} \ dx.

Verwenden Sie C als Integrationskonstante.

x \displaystyle \int f(x) \ dx = SOL

Um eine Partialbruchzerlegung (PBZ) anzuwenden, faktorisieren wir den Nenner (Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F) vollständig.

Es ist (Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F) = C*F(x- D) (x - A) (x - B) .

Damit ergibt sich der PBZ-Ansatz \displaystyle \frac{A_1}{x- D} + \frac{A_2}{x- A} + \frac{A_3}{x- B}, wobei wir die Konstante \displaystyle {\color{orange}\frac 1{C*F}} weglassen - aber im Hinterkopf behalten.

Zusammenfassen des Ansatzes ergibt

\displaystyle \frac{A_1}{x- D} + \frac{A_2}{x- A} + \frac{A_3}{x- B} = \frac{\color{red}A_1 (x- A) (x- B) + A_2 (x- D)(x- B) + A_3 (x- D)(x- A)} {(x- D) (x - A) (x - B)}.

Der Vergleich des Zählers von f(x) und in der PBZ liefert die Gleichung

\displaystyle V x + W ={\color{red}A_1 (x- A) (x- B) + A_2 (x- D)(x- B) + A_3 (x- D)(x- A)}.

Um die Zahlen A_1, A_2 und A_3 zu finden, setzen wir auf beiden Seiten der Gleichung für x nacheinander die Nullstellen des Nenners D, A und B ein.

Für x = D ist \color{blue}A_1 = A1, für x = A ist \color{teal}A_2 = A2 und für x = B ist \color{purple}A_3 = A3.

Diese Berechnungen führen auf \displaystyle \int \frac{V x + W} {(Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F)} \ dx = {\color{orange}\frac 1{C*F}} \int { \color{blue} \left(A1\right)} \cdot \frac{1}{x- D} + {\color{teal}\left(A2\right)} \cdot \frac{1}{x- A} + {\color{purple} \left(A3\right)} \cdot \frac{1}{x- B} \ dx.

Mit \displaystyle \int \frac1 {x+a} = \ln |x+a| +C und den Rechenregeln folgt

\displaystyle \int \frac{V x + W} {(Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F)} \ dx = AA1\cdot \ln | x- D| + AA2 \cdot \ln | x- A| + AA3 \cdot \ln | x- B| + C.