Gegeben seien der Vektor
v = \begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix}
und eine Basis
\mathcal B = \left\{
\begin{pmatrix} A \\ C\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} B \\ D \end{pmatrix}
\right\}.
Berechnen Sie den Koordinatenvektor [v]_{\mathcal B} =
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
{\color{blue}Y} \end{pmatrix} von v
bezüglich der Basis
\mathcal B .
\color{red} X
=
(D*X-B*Y)/det
\color{blue} Y
=
(A*Y-C*X)/det
Wir suchen {\color{red}X}
und {\color{blue}Y} für die eindeutige Lösung des LGS
\begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix} =
{\color{red}X} \begin{pmatrix} A \\ C\end{pmatrix} +
{\color{blue}Y} \begin{pmatrix} B \\ D\end{pmatrix}.
Das geht entweder mit dem Gauss-Verfahren oder mit der Matrix
A=
\begin{pmatrix} A & B \\
C & D \end{pmatrix}
.
Diese ist invertierbar mit \det(A) = det und
A^{-1}=
\frac 1{det}\begin{pmatrix} D & -B \\
-C & A \end{pmatrix}.
Schreibe das LGS
\begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix} =
{\color{red}X} \begin{pmatrix} A \\ C\end{pmatrix} +
{\color{blue}Y} \begin{pmatrix} B \\ D\end{pmatrix}
als \begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\ {\color{blue}Y} \end{pmatrix}
und multipliziere mit A^{-1} von links.
Das ergibt \begin{pmatrix} {\color{red}X} \\ {\color{blue}Y} \end{pmatrix} =
\frac 1{det}\begin{pmatrix} D & -B \\
-C & A \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} {\color{red}SX} \\
{\color{blue}SY} \end{pmatrix}
.