Gegeben seien der Vektor
v = \begin{pmatrix}X \\ Y \\
Z \end{pmatrix}
und eine Basis
\mathcal B = \left\{
\begin{pmatrix} A \\ B\\ C\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} D \\ E\\ F\end{pmatrix},
\begin{pmatrix} G \\ H\\ I\end{pmatrix}
\right\}.
Berechnen Sie den Koordinatenvektor [v]_{\mathcal B} =
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
{\color{blue}Y} \\ Z \end{pmatrix} von v
bezüglich der Basis
\mathcal B .
\color{red} X
=
kvector.dot([A,B,C],[X,Y,Z])/ kvector.dot([A,B,C],[A,B,C])
\color{blue} Y
=
kvector.dot([D,E,F],[X,Y,Z])/ kvector.dot([D,E,F],[D,E,F])
Z
=
kvector.dot([G,H,I],[X,Y,Z])/ kvector.dot([G,H,I],[G,H,I])
Wir suchen {\color{red}X}, {\color{blue}Y}
und Z für die eindeutige Lösung des LGS
\begin{pmatrix}X \\
Y \\
Z \end{pmatrix} =
{\color{red}X} \begin{pmatrix} A \\ B \\ C\end{pmatrix} +
{\color{blue}Y} \begin{pmatrix} D \\ E\\ F\end{pmatrix} +
Z \begin{pmatrix} G \\ H\\ I\end{pmatrix}.
Das geht entweder mit dem Gauss-Verfahren oder mit der Matrix
A=
\begin{pmatrix} A & D & G \\
B & E & H \\
C & F & I\end{pmatrix}
oder dem euklidischen Skalarprodukt (SKP), da die drei Basisvektoren orthogonoal bezgl. dieses SKP sind - prüfen Sie das nach!
Um {\color{red}X} zu bestimmen, nehmen wir auf der linken und rechten Seite der Gleichung oben
das SKP mit \begin{pmatrix} A \\ B\\ C\end{pmatrix} und erhalten
\begin{pmatrix} A \\ B\\ C\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}X \\
Y \\
Z \end{pmatrix} = kvector.dot([A,B,C],[X,Y,Z]) =
\begin{pmatrix} A \\ B\\ C\end{pmatrix}
\cdot \left(
{\color{red}X} \begin{pmatrix} A \\ B \\ C\end{pmatrix} +
{\color{blue}Y} \begin{pmatrix} D \\ E\\ F\end{pmatrix} +
Z \begin{pmatrix} G \\ H\\ I\end{pmatrix}\right).
Wegen der Bilinearität des SKP und der Orthogonalität der Basis bleibt auf der rechten Seite allein
{\color{red}X} \begin{pmatrix} A \\ B\\ C\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} A \\ B \\ C\end{pmatrix} =
{\color{red}X} \cdot negParens(kvector.dot([A,B,C],[A,B,C])).
Damit zusammen also:
{\color{red}X} = fractionReduce(kvector.dot([A,B,C],[X,Y,Z]), kvector.dot([A,B,C],[A,B,C])).
Für die beiden anderen Koordinaten verwenden wir dann jeweils den entsprechenden Basisvektor.
Es ergeben sich noch
{\color{blue}Y} = fractionReduce(kvector.dot([D,E,F],[X,Y,Z]), kvector.dot([D,E,F],[D,E,F])) und
Z = fractionReduce(kvector.dot([G,H,I],[X,Y,Z]), kvector.dot([G,H,I],[G,H,I])).