Die Matrix
A=
\begin{pmatrix} A & {\color{red}b} \\
{\color{teal}c} & D \end{pmatrix}
definiert ein System y' = A \cdot y.
Bestimmen Sie die Einträge {\color{red}b} und {\color{teal}c} so, dass
{\color{orange}y_{\infty}}=
\begin{pmatrix} X \\
Y \end{pmatrix}
ein Stationärer Zustand des Systems ist.
\color{red} b
=
B
\color{teal} c
=
C
Wir suchen eine Lösung \color{orange}y_{\infty} mit
\color{orange}y_{\infty}' = 0, also {\color{red}b} und {\color{teal}c}
mit A\cdot {\color{orange}y_{\infty}} = \begin{pmatrix} A & {\color{red}b} \\
{\color{teal}c} & D \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} X \\
Y \end{pmatrix} = {\color{blue}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}
.
Wir rechnen \begin{pmatrix} A & {\color{red}b} \\
{\color{teal}c} & D \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} X \\
Y \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} negParens(A) \cdot negParens(X) + {\color{red}b} \cdot negParens(Y) \\
{\color{teal}c} \cdot negParens(X) + negParens(D) \cdot negParens(Y) \end{pmatrix} =
{\color{blue}
\begin{pmatrix} A*X \cdot + negParens(Y) \cdot {\color{red}b} \\
negParens(X) \cdot {\color{teal}c} + D *Y \end{pmatrix}
}.
Damit muss gelten:
{\color{red}b} = fractionReduce(- A*X,Y) und {\color{teal}c} = fractionReduce(- D*Y,X).