Die Matrix
A =
\begin{pmatrix} A & B\\
C & D \end{pmatrix}
definiert ein DGL-System y' = Ay.
Bestimmen Sie den Eintrag {\color{red}B}, sodass die Lösung des Systems bei
y(0) = \begin{pmatrix} X*Z \\
{\color{red}B} \end{pmatrix}
startet und \displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} gilt.
\color{red} B
=
X*Z
Zunächst bestimmen wir die Eigenwerte {\color{blue}\lambda_{1,2}} als eine Nullstelle des
Charakteristischen
Polynoms:
\lambda^2 - T \cdot \lambda + S =
\left(\lambda - {\color{blue}negParens(L)} \right) \cdot
\left(\lambda - {\color{blue}L2}\right) =
\left(\lambda - {\color{blue}\lambda_1} \right) \cdot \left(\lambda - {\color{blue}\lambda_2} \right) .
Wählen wir entsprechende Eigenvektoren v_1 und v_2,
ist die allgemeine Lösung des Systems die Funktion
y: \mathbb R \to \mathbb R^2 mit
y(t) =
C_1 \cdot e^{ {\color{blue}L} \cdot t} \cdot v_1 +
{\color{orange}C_2}\cdot e^{{\color{blue}\lambda_2} \cdot t} \cdot v_2.
Wir suchen also {\color{red}B} zum einen mit
y(0) = \begin{pmatrix} X*Z \\ {\color{red}B} \end{pmatrix}
und zum zweiten \color{orange}C_2 = 0, da {\color{blue}\lambda_2} = L2 \geq 0.
Dies garantiert die Konvergenz
\displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{t \to \infty} C_1 e^{ {\color{blue}L} \cdot t} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
Wir setzen also ein und gleich:
y(0) = \begin{pmatrix} X*Z \\ {\color{red}B} \end{pmatrix} = C_1 \cdot e^{ {\color{blue}L}
\cdot 0} \cdot v_1 = C_1 \cdot v_1.
Um weiter rechnen zu können, müssen wir die Eigenvektoren bestimmen:
Aus der Gleichung A v_1 = {\color{blue}\lambda_1} v_1 erhalten wir als Eigenvektoren die Vektoren
der Form
\alpha\cdot \begin{pmatrix} Y \\ X \end{pmatrix} mit
0 \neq \alpha \in \mathbb R.
In der ersten Koordinate erhalten wir die Gleichung
Y*Z = C_1 \cdot Y und damit
Z = C_1.
Dieses Z = C_1 setzen wir in die zweite Koordinatengleichung ein, und erhalten
{\color{red}B} = Z*X.