Das Vektorfeld
F: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2,
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} y_1^2 - y_2^2 \\
Ay_1 + By_1 y_2 \end{pmatrix}
definiert ein System y' = F(y).
Bestimmen Sie die Koordinaten des stabilen Fixpunktes
y_{\infty} = \left({\color{red}y_{\infty,1}},{\color{blue}y_{\infty,2}}\right) \neq (0,0).
{\color{red}y_{\infty,1}}
=
-A/B
{\color{blue}y_{\infty,2}}
=
-A/B
Wir suchen zunächst die Fixpunkte. Dies sind die Lösungen der Gleichung F(y) =0.
Die erste Gleichung ist y_1^2 - y_2^2 = (y_1 - y_2) (y_1 + y_2) = 0 und damit muss
y_1 = \pm y_2 sein.
Die zweite Gleichung schreibt sich
0= Ay_1 + By_1 y_2 = Ay_1 (1 + fractionReduce(B,A) y_2) und damit wegen y_1 \neq 0 folgt y_2 = fractionReduce(-A,B).
Wir haben also zwei Fixpunkte
\displaystyle
y_{\infty} = \left({\color{red}y_{\infty,1}},{\color{blue}y_{\infty,2}}\right)
= \left(\mp fractionReduce(A,B), fractionReduce(-A,B)\right).
Mit der Jacobi-Matrix (und dem Satz von Hartman-Grobman) entscheiden wir über die Stabilität.
Es ist D(y_1,y_2) = \begin{pmatrix} 2y_1 & - 2y_2 \\
A + By_2 & By_1 \end{pmatrix}.
Eingesetzt mit den Fixpunkten oben: D(y_{\infty,1},y_{\infty,2})
= \begin{pmatrix} \mp fractionReduce(2*A,B) & fractionReduce(2*A,B) \\
0 & \mpA \end{pmatrix}.
Die reellen Eigenwerde stehen auf der Diagonalen und sind nur dann beide negativ,
wenn y_1 = y_2. Damit ist also
y_{\infty} = \left({\color{red}y_{\infty,1}},{\color{blue}y_{\infty,2}}\right)
= \left(fractionReduce(-A,B), fractionReduce(-A,B)\right) stabil.