de-CH
utf-8
math graphie polynomials
Periode bestimmen
t-02-XXa
number
1000
randRange(2,15) randRange(2,15) randRange(2,15) randRangeExclude(2,15,[Z,2*Z]) (N*Z1)/(Z*N1)

Sei f eine Funktion mit (Minimal-)Periode fractionReduce(Z1,N1).

Welche (Minimal-)Periode hat die Funktion {\color{blue}g} mit {\color{blue}g(x) = f\left(fractionReduce(Z,N) \cdot x \right)} ?

P

Wir suchen die kleinste Zahl {\color{red}P} > 0 mit {\color{blue}g(x + {\color{red}P}) = g(x)}.

Es ist {\color{blue}g(x + {\color{red}P})} = f \left( fractionReduce(Z,N) (x +{\color{red}P})\right) = f \left( fractionReduce(Z,N) x + fractionReduce(Z,N) {\color{red}P} \right).

Mit der gegebenen Periode \color{orange}{fractionReduce(Z1,N1)} der Funktion f versuchen wir nun {\color{red}P} so zu wählen, dass \color{orange}{ fractionReduce(Z,N) \cdot {\color{red}P} = fractionReduce(Z1,N1)} gilt.

Denn dann ist

f \left( fractionReduce(Z,N) x + \color{orange}{ fractionReduce(Z,N) \cdot {\color{red}P}} \right) = f \left(fractionReduce(Z,N) x + \color{orange}{fractionReduce(Z1,N1)} \right) = f \left(fractionReduce(Z,N) x \right) ={\color{blue}g(x)}.

Um {\color{red}P} zu bestimmen, lösen wir die Gleichung \color{orange}{ fractionReduce(Z,N) \cdot {\color{red}P} = fractionReduce(Z1,N1)} nach {\color{red}P} und sehen

\displaystyle {\color{red}P} = fractionReduce(N*Z1,Z*N1).