Gegeben sei die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = {\color{red}a} \cdot x^{N} + B\cdot y^{M}
und einer Zahl {\color{red}a}.
Sei \gamma eine Kurve, die in (P1,Q1) startet
und diesen mit (P2,Q2) verbindet.
Bestimmen Sie {\color{red}a}, sodass die Arbeitsintegral
\displaystyle \int_\gamma \nabla f \cdot d\gamma = W ist.
\color{red} a
=
(W+B*pow(Q1,M)-B*pow(Q2,M))/(pow(P2,N)-pow(P1,N))
Mit dem Hauptsatz für Gradientenfelder gilt
\displaystyle \int_\gamma \nabla f \cdot d\gamma =
f(\text{Endpunkt von } \gamma) - f(\text{Startpunkt von }\gamma).
Der Verlauf der Kurve spielt keine Rolle, die Richtung aber schon.
Wir müssen also {\color{red}a} finden mit
f(P2,Q2)- f(P1,Q1) = W.
Einsetzen liefert die Gleichung
{\color{red}a} \cdot negParens(P2)^{N} + B\cdot negParens(Q2)^{M} -
\left({\color{red}a} \cdot negParens(P1)^{N} +
B\cdot negParens(Q1)^{M} \right) =
W.
Sortieren ergibt
{\color{red}a} \cdot negParens(pow(P2,N) - pow(P1,N)) + B*pow(Q2,M) - B * pow(Q1,M)=
W.
Nach Auflösen ist {\color{red}a} = \dfrac{W-B*pow(Q2,M) + B * pow(Q1,M)}{pow(P2,N) - pow(P1,N)}
=fractionReduce(W+B*pow(Q1,M)-B*pow(Q2,M),pow(P2,N)-pow(P1,N)).